Fenomene periodice și oscilații

O mișcare este periodică dacă revine la aceeași stare după intervale egale de timp. O oscilație este o variație în jurul unei stări de echilibru. Un pendul sau un sistem corp–resort poate parcurge repetat un ciclu complet, în timp ce coordonata sa oscilează între două valori extreme.

Perioada $T$ este timpul unui ciclu, măsurat în secunde. Frecvența $f$ este numărul de cicluri pe secundă și se măsoară în hertzi. Dacă un sistem efectuează două cicluri într-o secundă, $f=2\mathrm{Hz}$ și $T=0,5\mathrm{s}$. Amplitudinea este abaterea maximă de la echilibru, nu drumul total parcurs într-un ciclu.

Nu toate mișcările periodice sunt oscilații în jurul unui echilibru; rotația uniformă este periodică, dar nu este o oscilație: corpul nu merge înainte și înapoi în jurul unei poziții de echilibru. Într-un sistem real, pierderile de energie reduc amplitudinea oscilației libere. Dacă această variație este lentă, perioada poate fi folosită în continuare ca aproximare.

Pentru a măsura mai bine perioada, cronometrează zece oscilații complete și împarte timpul total la zece. Începe și termină cronometrul când obiectul trece prin aceeași poziție în același sens. Dacă numeri numai trecerile prin centru, poți confunda o jumătate de ciclu cu un ciclu întreg.

Starea unui oscilator se descrie prin elongația $y$, adică depărtarea față de poziția de echilibru, măsurată cu semn pe o axă aleasă: $y>0$ de o parte a echilibrului și $y<0$ de cealaltă. Amplitudinea $A$ este valoarea maximă a modulului elongației. Legea oscilației armonice este

unde $\phi =\omega t+{\phi }_0$ este faza la momentul $t$ (în radiani), iar ${\phi }_0$ este faza inițială, adică faza la $t=0$. Faza arată în ce stadiu al ciclului se află corpul: la $\phi =0$ trece prin echilibru spre valori pozitive, la $\phi =\pi /2$ se află în capătul $y=+A$, la $\phi =\pi$ trece din nou prin echilibru, dar spre valori negative. Cosinusul descrie aceeași mișcare cu altă fază inițială, pentru că $\cos \theta =\sin (\theta +\pi /2)$.

Mărimile care măsoară ritmul oscilației sunt legate prin relațiile

Perioada $T$ se măsoară în secunde, frecvența $f$ în hertzi ($1\mathrm{Hz}=1{\mathrm{s}}^{-1}$), iar pulsația $\omega$ în $rad/s$. Elongația se repetă după fiecare perioadă, $y(t+T)=y(t)$, pentru că faza crește cu $2\pi$. Într-o perioadă corpul parcurge drumul $4A$, iar într-o jumătate de perioadă parcurge $2A$, oricare ar fi faza de la care pornești numărătoarea.

Două oscilații de aceeași pulsație au diferența de fază $\Delta \phi ={\phi }_{02}-{\phi }_{01}$, constantă în timp. Pentru $\Delta \phi =2n\pi$ oscilațiile sunt în fază: trec simultan prin echilibru și ating simultan maximele. Pentru $\Delta \phi =(2n+1)\pi$ sunt în opoziție de fază: elongațiile au mereu semne contrare. La $\Delta \phi =\pi /2$ sunt în cuadratură: când una trece prin echilibru, cealaltă are elongația maximă.

Ordinele de mărime variază enorm. Tensiunea din priză are $f=50\mathrm{Hz}$, deci $T=20\mathrm{ms}$ și $\omega =100\pi \approx 314rad/s$. Diapazonul pentru acordaj, care dă nota la, vibrează cu $f=440\mathrm{Hz}$, adică $T\approx 2,27\mathrm{ms}$. Inima unui om aflat în repaus bate cu $72$ de pulsații pe minut, ceea ce înseamnă $f=1,2\mathrm{Hz}$ și $T\approx 0,83\mathrm{s}$.

Exemplu rezolvat 1. Un elev cronometrează $N=20$ de oscilații complete ale unui pendul și citește $\Delta t=36\mathrm{s}$. Se cer perioada, frecvența și pulsația.

1. Perioada este $T=\Delta t/N=36/20=1,8\mathrm{s}$.
2. Frecvența este $f=1/T=1/1,8\approx 0,56\mathrm{Hz}$.
3. Pulsația este $\omega =2\pi /T=2\pi /1,8\approx 3,5rad/s$.

Măsurarea pe $20$ de oscilații micșorează de $20$ de ori efectul întârzierii cu care pornești și oprești cronometrul: o eroare de $0,2\mathrm{s}$ în $\Delta t$ devine $0,01\mathrm{s}$ în perioadă.

Exemplu rezolvat 2. Elongația unui corp, în unități SI, este $y=0,05\sin \left(10\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$. Se cer parametrii oscilației, elongația la $t=0$ și la $t=0,10\mathrm{s}$, precum și drumul parcurs în $0,50\mathrm{s}$.

1. Prin comparație cu forma generală, $A=0,05\mathrm{m}$, $\omega =10\pi rad/s$ și ${\phi }_0=\pi /6$.
2. Perioada este $T=2\pi /\omega =0,20\mathrm{s}$, iar frecvența este $f=5,0\mathrm{Hz}$.
3. La $t=0$: $y=0,05\sin (\pi /6)=0,025\mathrm{m}$.
4. La $t=0,10\mathrm{s}$ faza este $\pi +\pi /6=7\pi /6$, deci $y=0,05\sin (7\pi /6)=-0,025\mathrm{m}$.
5. Intervalul de $0,50\mathrm{s}$ conține $2,5$ perioade: două perioade, cu drumul $2\cdot 4A$, și o jumătate de perioadă, cu drumul $2A$. Drumul total este $10A=0,50\mathrm{m}$.

Valoarea $y=-0,025\mathrm{m}$ din pasul 4 are același modul ca la început și semn opus: la o jumătate de perioadă corpul se află simetric față de poziția de echilibru.

Greșeli frecvente

• Greșit: a număra o jumătate de oscilație ca pe un ciclu complet.
  Corect: o oscilație completă se încheie când corpul trece din nou prin aceeași poziție, în același sens.
• Greșit: a confunda amplitudinea cu drumul total parcurs într-o perioadă.
  Corect: amplitudinea este elongația maximă; într-o perioadă drumul este $4A$.
• Greșit: a considera orice mișcare periodică o oscilație în jurul echilibrului.
  Corect: rotația uniformă a unui corp pe un cerc este periodică, dar corpul nu se mișcă înainte și înapoi în jurul unei poziții de echilibru.
• Greșit: a scrie $\omega =1/T$.
  Corect: $f=1/T$, iar $\omega =2\pi /T$; pulsația se măsoară în $rad/s$, frecvența în $\mathrm{Hz}$.
• Greșit: a introduce faza în grade când $\omega$ este în $rad/s$.
  Corect: în $\sin (\omega t+{\phi }_0)$ toți termenii argumentului sunt în radiani.

Înainte și după