Interferența și undele staționare

Într-un mediu liniar, când două unde ajung în același loc, deplasările se adună. Dacă o creastă întâlnește o creastă, amplitudinea rezultantă este $A_1+A_2$: interferență constructivă. Dacă o creastă întâlnește o vale de aceeași amplitudine, deplasările se anulează în acel punct: interferență distructivă. După întâlnire, undele continuă să se propage.

Pentru zone de maxim și minim stabile, sursele trebuie să fie coerente: să aibă aceeași frecvență și diferență de fază constantă. Valurile create de două surse coerente arată zone care oscilează mai mult și zone care oscilează mai puțin. Dacă diferența de fază se schimbă la întâmplare, modelul stabil dispare.

O undă staționară se formează prin suprapunerea a două unde de aceeași frecvență și amplitudine, propagate în sensuri opuse. Pe o coardă fixată la capete apar noduri, puncte fără oscilație, și ventre, puncte cu oscilație maximă. Nodurile vecine sunt la distanța $\lambda /2$, iar un nod și ventrul vecin la $\lambda /4$.

Corzile instrumentelor muzicale formează unde staționare la anumite frecvențe. Unda staționară nu transportă energie de-a lungul corzii; între noduri, energia trece periodic între formele cinetică și potențială. Lungimea corzii și viteza undei determină frecvențele permise.

Interferența. Într-un mediu liniar, elongația într-un punct în care ajung două unde este suma elongațiilor lor, $y=y_1+y_2$ (principiul superpoziției). Pentru două surse coerente, care oscilează în fază cu aceeași pulsație, defazajul undelor într-un punct depinde numai de diferența de drum $\Delta r=r_2-r_1$ până la acel punct: $\Delta \phi =2\pi \Delta r/\lambda$. Rezultă condițiile

Dacă cele două unde au aceeași amplitudine $A_0$, amplitudinea într-un punct este $A=2A_0\left|\cos \frac{\pi \Delta r}{\lambda }\right|$: ea este $2A_0$ la maxim și $0$ la minim. Locurile geometrice ale maximelor și ale minimelor sunt hiperbole cu focarele în cele două surse. Dacă sursele oscilează în opoziție de fază, condițiile de maxim și de minim se inversează. Căștile cu anulare activă a zgomotului folosesc interferența distructivă: un microfon preia zgomotul, iar căștile emit un sunet de aceeași amplitudine și în opoziție de fază.

Unda staționară. Să considerăm o undă $y_i=A\sin (\omega t+kx)$ care se propagă spre un capăt fix situat în $x=0$. Unda reflectată se propagă în sens opus și are faza inversată, $y_r=-A\sin (\omega t-kx)$, iar suma lor este

Fiecare punct oscilează cu pulsația $\omega$ și cu amplitudinea $2A|\sin kx|$, care depinde de poziție, iar forma nu se deplasează. Nodurile (amplitudine nulă) se află la $x=n\lambda /2$, iar ventrele (amplitudine $2A$) la $x=(2n+1)\lambda /4$. Distanța dintre două noduri vecine este $\lambda /2$, iar între un nod și ventrul vecin este $\lambda /4$. Punctele dintre două noduri consecutive oscilează în fază, iar cele de o parte și de alta a unui nod oscilează în opoziție de fază. Nu există transport net de energie de-a lungul corzii.

Pentru o coardă de lungime $L$, fixată la ambele capete, undele staționare se pot forma numai dacă $L=n{\lambda }_n/2$, deci

Frecvența $f_1$ este fundamentala, iar $f_2,f_3,\dots$ sunt armonicele.

Exemplu rezolvat 1. Două difuzoare coerente, în fază, emit un sunet de frecvență $850\mathrm{Hz}$. Viteza sunetului este $340m/s$. Un punct $P$ este la $r_1=2,0\mathrm{m}$ și $r_2=2,6\mathrm{m}$ de difuzoare, iar un punct $Q$ la $r_1=2,0\mathrm{m}$ și $r_2=2,8\mathrm{m}$. Ce se aude în fiecare?

1. Lungimea de undă este $\lambda =v/f=340/850=0,40\mathrm{m}$.
2. În $P$: $\Delta r=0,6\mathrm{m}=1,5\lambda$, deci $\Delta r=(2k+1)\lambda /2$ cu $k=1$. Este minim, iar amplitudinea este $0$.
3. În $Q$: $\Delta r=0,8\mathrm{m}=2\lambda$, deci este maxim, iar amplitudinea este $2A_0$.

Deplasându-te de la $P$ la $Q$ auzi sunetul întărindu-se, deși ambele difuzoare funcționează neschimbat.

Exemplu rezolvat 2. O coardă de chitară are lungimea $L=0,65\mathrm{m}$ și fundamentala $f_1=110\mathrm{Hz}$. Se cer viteza undei pe coardă, frecvența armonicii a patra și pozițiile nodurilor ei.

1. Din $f_1=v/(2L)$ rezultă $v=2L{f}_1=2\cdot 0,65\cdot 110=143m/s$.
2. Frecvența armonicii a patra este $f_4=4f_1=440\mathrm{Hz}$.
3. Lungimea de undă este ${\lambda }_4=2L/4=0,325\mathrm{m}$, iar nodurile sunt la distanța ${\lambda }_4/2=0,1625\mathrm{m}$ unul de altul.
4. Față de un capăt, nodurile sunt la $0$; $0,1625$; $0,325$; $0,4875$ și $0,65\mathrm{m}$.

Apăsând coarda la mijloc, lungimea vibrantă devine $0,325\mathrm{m}$ și fundamentala se dublează, la $220\mathrm{Hz}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: undele se distrug definitiv după interferența distructivă.
  Corect: se suprapun doar în regiunea comună și, după aceasta, își continuă propagarea neschimbate.
• Greșit: unda staționară transportă energie de-a lungul corzii ca o undă progresivă.
  Corect: nu există transport net de energie; prin noduri nu trece energie.
• Greșit: condiția $\Delta r=k\lambda$ dă maxime indiferent de fazele surselor.
  Corect: ea dă maxime pentru surse care oscilează în fază; pentru surse în opoziție de fază condițiile se inversează.
• Greșit: distanța dintre două noduri vecine ale unei unde staționare este $\lambda$.
  Corect: este $\lambda /2$.

Înainte și după