Sisteme de lentile

Un aparat foto sau un microscop poate conține mai multe lentile. Prima lentilă formează o imagine, iar această imagine devine obiectul pentru lentila următoare. Analiza se face pas cu pas. Dacă încerci să sari direct de la obiectul inițial la imaginea finală, poți pierde poziția și orientarea imaginii intermediare.

Poziția și natura imaginii finale depind de distanțele focale și de separarea lentilelor. Mărirea totală nu se deduce doar din numărul lentilelor; trebuie analizată geometria întregului sistem.

Pentru fiecare lentilă, desenează axa, focarele și razele principale. Găsește mai întâi imaginea intermediară. Abia apoi folosește-o ca obiect pentru următoarea lentilă. Dacă imaginea primei lentile s-ar forma după a doua lentilă, ea este pentru a doua un obiect virtual, iar distanța sa are alt semn.

Două lentile foarte apropiate se pot trata uneori ca o singură lentilă echivalentă. Aceasta este o aproximare; dacă distanța dintre ele este importantă, formula simplă pentru lentile lipite nu se mai aplică. Sistemele optice reale folosesc mai multe lentile și pentru a corecta defectele imaginilor, nu doar pentru a mări.

Pentru un sistem de lentile subțiri coaxiale, în același mediu, se aplică formula lentilei de mai multe ori. Imaginea dată de prima lentilă, la $x_2^{(1)}$ față de ea, este obiect pentru a doua lentilă, situată la distanța $d$ de prima. Față de a doua lentilă, abscisa obiectului este $x_1^{(2)}=x_2^{(1)}-d$. Dacă $x_2^{(1)}<d$, imaginea intermediară se află înaintea celei de-a doua lentile și este obiect real; dacă $x_2^{(1)}>d$, razele ajung la a doua lentilă înainte de a se întâlni, iar obiectul este virtual, cu $x_1^{(2)}>0$. Mărirea transversală totală este produsul măririlor: $\beta ={\beta }_1{\beta }_2$. Imaginea finală este răsturnată față de obiect dacă $\beta <0$.

Pentru lentile lipite ($d=0$) imaginea primei lentile este obiect pentru a doua în același plan, deci $x_1^{(2)}=x_2^{(1)}$. Adunând relațiile $\frac{1}{x_2^{(1)}}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f_1}$ și $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_2^{(1)}}=\frac{1}{f_2}$ se obține $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$. Sistemul se comportă ca o lentilă cu $C=C_1+C_2$. Formula nu rămâne valabilă pentru lentile separate.

Cazul obiectului virtual apare când a doua lentilă este așezată înaintea imaginii intermediare. De exemplu, o lentilă convergentă cu $f_1=20\mathrm{cm}$ și un obiect la $x_1=-40\mathrm{cm}$ dau imaginea intermediară la $x_2^{(1)}=+40\mathrm{cm}$, cu ${\beta }_1=-1$. Dacă la $d=30\mathrm{cm}$ se pune o lentilă divergentă cu $f_2=-20\mathrm{cm}$, obiectul ei este virtual, cu $x_1^{(2)}=40-30=+10\mathrm{cm}$. Atunci $\frac{1}{x_2}=-\frac{1}{20}+\frac{1}{10}=\frac{1}{20}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=+20\mathrm{cm}$ și ${\beta }_2=2$: imaginea finală este reală, la $20\mathrm{cm}$ după a doua lentilă, iar $\beta =-2$.

Obiectivele aparatelor foto conțin mai multe lentile pentru a reduce aberațiile. Un exemplu simplu este dubletul acromatic: o lentilă convergentă și una divergentă, lipite, din sticle cu indici de refracție diferiți. Distanțele lor focale se aleg astfel încât convergența totală $C_1+C_2$ să rămână pozitivă, iar variația distanței focale cu culoarea să se compenseze.

Exemplu rezolvat 1. Două lentile convergente, cu $f_1=10\mathrm{cm}$ și $f_2=20\mathrm{cm}$, sunt așezate la $d=40\mathrm{cm}$ una de alta. Un obiect înalt de $1,0\mathrm{cm}$ se află la $15\mathrm{cm}$ în fața primei lentile. Cum este imaginea finală?

1. Prima lentilă, cu $x_1=-15\mathrm{cm}$: $\frac{1}{x_2^{(1)}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{1}{30}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2^{(1)}=30\mathrm{cm}$ și ${\beta }_1=\frac{30}{-15}=-2$.
2. Imaginea intermediară este la $30\mathrm{cm}$ de prima lentilă, deci la $10\mathrm{cm}$ înaintea celei de-a doua: $x_1^{(2)}=30-40=-10\mathrm{cm}$.
3. A doua lentilă: $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{20}-\frac{1}{10}=-\frac{1}{20}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=-20\mathrm{cm}$ și ${\beta }_2=\frac{-20}{-10}=+2$.
4. Mărirea totală este $\beta ={\beta }_1{\beta }_2=-4$.

Imaginea finală este virtuală, răsturnată și are înălțimea de $4,0\mathrm{cm}$; ea se află la $20\mathrm{cm}$ înaintea celei de-a doua lentile, deci la $20\mathrm{cm}$ de prima.

Exemplu rezolvat 2. O lentilă convergentă cu $f_1=12\mathrm{cm}$ este lipită de o lentilă divergentă cu $f_2=-30\mathrm{cm}$. Aflați convergența sistemului și imaginea unui obiect aflat la $60\mathrm{cm}$ de el.

1. Convergențele sunt $C_1=\frac{1}{0,12\mathrm{m}}=8,33\delta$ și $C_2=\frac{1}{-0,30\mathrm{m}}=-3,33\delta$.
2. Sistemul are $C=C_1+C_2=5,0\delta$, deci $f=\frac{1}{5,0{\mathrm{m}}^{-1}}=0,20\mathrm{m}=20\mathrm{cm}$.
3. Pentru $x_1=-60\mathrm{cm}$: $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{1}{30}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=+30\mathrm{cm}$ și $\beta =\frac{30}{-60}=-0,50$.

Imaginea este reală, răsturnată și de două ori mai mică, iar sistemul rămâne convergent.

Pentru două lentile subțiri separate prin distanța $d$, în același mediu, convergența sistemului este

cu $d$ în metri și $C$ în dioptrii, adică $f=\frac{f_1{f}_2}{f_1+f_2-d}$. Relația rezultă urmărind un fascicul paralel: prima lentilă îl strânge în $F_1^{\prime }$, la $f_1$ de ea; acest punct este obiect pentru a doua lentilă, la $x_1=f_1-d$, iar imaginea lui se află la distanța dată de formula lentilei. Cazuri speciale care apar des:

• Lentile lipite, $d=0$: $C=C_1+C_2$.
• Sistem afocal, $d=f_1+f_2$: $C=0$, un fascicul paralel iese paralel. Dacă fasciculul incident are diametrul $D_1$, cel emergent are $D_2=D_1\frac{|f_2|}{f_1}$. Așa lucrează un extensor de fascicul laser sau luneta.
• Imaginea unui obiect foarte îndepărtat se formează chiar în planul celei de-a doua lentile când $d=f_1$.

Distanța focală echivalentă se măsoară de la planul principal al sistemului, nu de la a doua lentilă; de aceea, la separări finite, focarul sistemului nu se află la distanța $f$ de lentila a doua. Rezolvarea sigură, la orice separare, rămâne urmărirea imaginilor succesive.

Exemplu în formatul examenului. O lentilă cu $f_1=25\mathrm{cm}$ și o lentilă cu $f_2=20\mathrm{cm}$, ambele convergente, sunt așezate la $d=10\mathrm{cm}$ una de alta. Care este convergența sistemului?

• a) $9\delta$
• b) $7\delta$
• c) $11\delta$
• d) $8,9\delta$

Rezolvare.

1. Convergențele sunt $C_1=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}=4\delta$ și $C_2=\frac{1}{0,20\mathrm{m}}=5\delta$; distanța este $d=0,10\mathrm{m}$.
2. Formula pentru lentile separate dă $C=4+5-0,10\cdot 4\cdot 5=9-2=7\delta$.
3. Variantele greșite provin din erori reale: $9\delta$ (a) se obține tratând lentilele ca lipite, $11\delta$ (c) cu semnul termenului în $d$ schimbat, iar $8,9\delta$ (d) uitând produsul $C_1{C}_2$ din termenul în $d$.

Răspuns corect: b).

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna dioptriile unor lentile depărtate ca și cum ar fi lipite.
  Corect: convergențele se adună doar pentru lentile alipite.
• Greșit: a uita că imaginea primei lentile devine obiect pentru a doua.
  Corect: imaginea primei lentile este obiect pentru a doua.
• Greșit: a aduna măririle, în loc să le înmulțească pentru sistemul secvențial.
  Corect: măririle se înmulțesc ($\beta ={\beta }_1{\beta }_2$).
• Greșit: a lua distanța $x_2^{(1)}$ față de prima lentilă drept distanță obiect pentru a doua.
  Corect: pentru a doua lentilă distanța obiect este $x_1^{(2)}=x_2^{(1)}-d$.

Înainte și după