Lentile subțiri

O lentilă este un corp transparent, din sticlă sau plastic, mărginit de două suprafețe curbe sau de una curbă și una plană. Lentilele din ochelari, lupe, aparate foto și microscoape schimbă direcția razelor de lumină prin refracție la cele două suprafețe ale lor.

Lentilele aflate în aer se împart, după formă, în două categorii. Lentilele convergente sunt mai groase la mijloc decât la margini: lentila biconvexă, lentila plan-convexă și meniscul convergent. Ele strâng un fascicul de raze paralele într-un punct. Lentilele divergente sunt mai subțiri la mijloc decât la margini: lentila biconcavă, lentila plan-concavă și meniscul divergent. Ele depărtează razele unui fascicul paralel.

Pentru a descrie o lentilă subțire, se folosesc elementele ei caracteristice:

• centrul optic $O$ este punctul prin care o rază trece fără să-și schimbe direcția;
• axa optică principală este dreapta perpendiculară pe lentilă care trece prin centrul optic; orice altă dreaptă prin $O$ este o axă optică secundară;
• focarul imagine $F^{\prime }$ este punctul de pe axa principală în care se întâlnesc, după lentila convergentă, razele venite paralel cu axa; focarul obiect $F$ este punctul simetric față de lentilă: razele care pornesc din $F$ ies din lentilă paralel cu axa;
• distanța focală $f$ este distanța de la centrul optic la focar: $f=OF=O{F}^{\prime }$.

La lentila divergentă, razele paralele ies depărtându-se, iar prelungirile lor trec printr-un focar aflat de aceeași parte cu fasciculul incident; se numește focar virtual. De aceea distanța focală a lentilei divergente se scrie cu semnul minus.

Mărimea care arată cât de tare deviază lentila razele este convergența $C=\frac{1}{f}$, măsurată în dioptrii ($1\delta =1{\mathrm{m}}^{-1}$), cu $f$ în metri. Cu cât focarul este mai aproape de lentilă, cu atât convergența este mai mare. Convergența lentilei divergente este negativă.

Exemplu rezolvat. Ochelarii unui elev au lentile marcate $-2,5\delta$. Ce fel de lentile sunt și ce distanță focală au?

1. Convergența este negativă, deci lentilele sunt divergente.
2. Distanța focală este $f=\frac{1}{C}=\frac{1}{-2,5{\mathrm{m}}^{-1}}=-0,40\mathrm{m}=-40\mathrm{cm}$.
3. Semnul minus arată că focarul este virtual, la $40\mathrm{cm}$ de lentilă, de partea din care vine lumina.

Pentru comparație, o lentilă convergentă cu $f=25\mathrm{cm}=0,25\mathrm{m}$ are convergența $C=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}=4\delta$.

Prin lentilă subțire se înțelege o lentilă a cărei grosime este mică față de razele de curbură ale suprafețelor și față de distanța focală; toate distanțele se măsoară de la centrul optic $O$, iar razele sunt apropiate de axa principală și puțin înclinate față de ea. Axa $Ox$ se orientează în sensul de propagare a luminii, cu originea în $O$. Distanța focală este $f=x_{F^{\prime }}$: pozitivă la lentila convergentă, negativă la cea divergentă. Focarul obiect are abscisa $x_F=-f$, iar focarele sunt simetrice față de lentilă când lentila se află în același mediu pe ambele fețe.

Trei raze au un parcurs cunoscut și se numesc raze principale. Raza paralelă cu axa iese prin $F^{\prime }$; la lentila divergentă, ea iese ca și cum ar veni din $F^{\prime }$. Raza care trece prin $O$ continuă nedeviată. Raza care trece prin $F$, sau a cărei prelungire trece prin $F$, iese paralelă cu axa. Pe ele se bazează construcțiile din lecția „Imagini prin lentile”.

Planul perpendicular pe axă prin focarul imagine se numește plan focal imagine. Un fascicul de raze paralele, înclinat cu unghiul $\alpha$ față de axa principală, se strânge într-un punct al planului focal, aflat pe axa secundară paralelă cu fasciculul, la distanța $y^{\prime }=f\mathrm{tg}\alpha$ de axa principală. Reciproc, razele care pornesc dintr-un punct al planului focal obiect ies din lentilă paralele între ele. Convergența $C=\frac{1}{f}$ se adună pentru lentile lipite (lecția „Sisteme de lentile”). O lentilă este convergentă în aer dacă este mai groasă la mijloc decât la margini; într-un mediu cu indice de refracție mai mare decât al materialului lentilei, rolurile se inversează, aspect tratat în lecția „Formula constructorului de lentile”.

Exemplu rezolvat 1. O lentilă divergentă de $-8\delta$ este luminată de un fascicul paralel cu axa, cu diametrul de $3,0\mathrm{cm}$. Ce diametru are pata de lumină pe un ecran perpendicular pe axă, aflat la $25\mathrm{cm}$ după lentilă?

1. Distanța focală este $f=\frac{1}{-8{\mathrm{m}}^{-1}}=-0,125\mathrm{m}=-12,5\mathrm{cm}$; razele ies ca și cum ar pleca din focarul virtual aflat la $12,5\mathrm{cm}$ înaintea lentilei.
2. Fasciculul are diametrul $3,0\mathrm{cm}$ la lentilă, deci diametrul crește proporțional cu distanța față de focarul virtual.
3. Ecranul este la $12,5\mathrm{cm}+25\mathrm{cm}=37,5\mathrm{cm}$ de focarul virtual, iar diametrul petei este $3,0\mathrm{cm}\cdot \frac{37,5}{12,5}=9,0\mathrm{cm}$.

Exemplu rezolvat 2. Un fascicul paralel cu axa, cu diametrul de $4,0\mathrm{cm}$, cade pe o lentilă convergentă cu $f=20\mathrm{cm}$. Ce diametru are pata de lumină pe un ecran aflat la $30\mathrm{cm}$ după lentilă?

1. Fasciculul se strânge în focarul imagine, la $20\mathrm{cm}$ de lentilă, unde diametrul este zero.
2. După focar, razele se depărtează din nou; diametrul crește proporțional cu distanța față de focar, iar la lentilă, la $20\mathrm{cm}$ de focar, diametrul era $4,0\mathrm{cm}$.
3. Ecranul este la $30\mathrm{cm}-20\mathrm{cm}=10\mathrm{cm}$ de focar, deci diametrul petei este $4,0\mathrm{cm}\cdot \frac{10}{20}=2,0\mathrm{cm}$.

Aceeași pată de $2,0\mathrm{cm}$ apare și pe un ecran aflat la $10\mathrm{cm}$ de lentilă, înainte de focar.

Problemele despre lentile cer, înainte de calculul imaginilor, citirea corectă a datelor: tipul lentilei, semnul și valoarea lui $f$ în metri, direcția fasciculului. Trei situații apar des.

• Fascicul paralel înclinat. Razele paralele cu o axă secundară de unghi $\alpha$ se întâlnesc în planul focal, la distanța $y^{\prime }=f\mathrm{tg}\alpha$ de axa principală. Raza prin centrul optic nu este deviată și fixează acest punct.
• Imaginea Soarelui. Soarele se vede sub unghiul de $0,53^{\circ }$, deci imaginea lui în planul focal are diametrul $d=f\mathrm{tg}0,53^{\circ }$, adică $9,3\mathrm{mm}$ pentru $f=1,0\mathrm{m}$.
• Determinarea experimentală a lui $f$. Imaginea clară și minimă a unui obiect foarte îndepărtat se formează în planul focal, deci distanța lentilă–ecran este egală cu $f$.

Capcanele obișnuite sunt confuzia dintre $f$ și $C$, distanțele în centimetri puse în $C=\frac{1}{f}$ și înlocuirea lui $\mathrm{tg}\alpha$ cu $\sin \alpha$ sau cu $\alpha$ în grade.

Exemplu în formatul examenului. Un fascicul paralel cade pe o lentilă subțire convergentă cu convergența $C=4\delta$, sub unghiul $\alpha =20^{\circ }$ față de axa principală. La ce distanță de axa principală, în planul focal, se strânge fasciculul?

• a) $1,46\mathrm{cm}$
• b) $8,55\mathrm{cm}$
• c) $9,10\mathrm{cm}$
• d) $68,7\mathrm{cm}$

Rezolvare.

1. Distanța focală este $f=\frac{1}{C}=\frac{1}{4{\mathrm{m}}^{-1}}=0,25\mathrm{m}=25\mathrm{cm}$.
2. Fasciculul se strânge în planul focal, la $y^{\prime }=f\mathrm{tg}\alpha =25\mathrm{cm}\cdot \mathrm{tg}20^{\circ }=25\cdot 0,364\mathrm{cm}=9,10\mathrm{cm}$.
3. Variantele greșite provin din erori reale: $f\sin \alpha =8,55\mathrm{cm}$ (b), $\frac{f}{\mathrm{tg}\alpha }=68,7\mathrm{cm}$ (d), iar $C\mathrm{tg}\alpha =1,46$ (a) apare când convergența este folosită în locul distanței focale.

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: a crede că orice lentilă produce o imagine mărită.
  Corect: lentila divergentă și lentila convergentă cu obiectul dincolo de $2f$ dau imagini micșorate.
• Greșit: a socoti o lentilă convergentă după materialul din care este făcută, nu după formă și mediu.
  Corect: în aer, lentila mai groasă la mijloc decât la margini este convergentă, iar cea mai subțire la mijloc este divergentă.
• Greșit: a calcula dioptrii folosind distanța focală în centimetri fără conversie.
  Corect: $C=1/f$ cu $f$ în metri.
• Greșit: a confunda centrul optic cu focarul.
  Corect: prin centrul optic raza trece nedeviată, iar focarul este punctul în care se strâng razele venite paralel cu axa.

Înainte și după