Propagarea incertitudinii

Într-un experiment, o mărime calculată depinde adesea de mai multe valori măsurate. Dacă acestea au incertitudini, și rezultatul calculat are o incertitudine. Propagarea incertitudinii urmărește cum se reflectă limitele măsurărilor în valoarea derivată, de exemplu în aria obținută din două lungimi.

Să presupunem că lungimea este aproape $2,0\mathrm{m}$, iar lățimea aproape $1,0\mathrm{m}$. Aria este aproape $2,0{\mathrm{m}}^2$. Dacă citești puțin greșit marcajul la unul dintre capete, aria calculată se schimbă și ea. Nu este corect să spui că aria este cunoscută „perfect” doar fiindcă înmulțirea a fost făcută corect.

Unele variații sunt întâmplătoare: la măsurări repetate, valorile sunt când puțin mai mari, când puțin mai mici. Altele țin de instrument sau de metodă: o ruletă întinsă greșit deplasează toate citirile în aceeași direcție. Dacă una dintre valori este mult diferită de celelalte, nu o șterge și nu o păstra după impresie: caută întâi cauza, apoi compară-o cu celelalte citiri printr-o regulă numerică. Poate ai citit alt marcaj sau obiectul nu are peste tot aceeași dimensiune.

Într-un calcul experimental se notează valorile măsurate, incertitudinile lor și formula folosită. Un rezultat derivat nu este mai sigur decât datele pe care se bazează. De pildă, incertitudinea unei arii calculate din două lungimi depinde de incertitudinile ambelor măsurări.

Erorile aleatoare produc împrăștierea citirilor în jurul unei valori și se reduc prin repetarea măsurării și mediere. Erorile sistematice deplasează toate citirile în același sens (zero deplasat, instrument nereglat, metodă cu un efect neglijat) și nu se micșorează prin mediere; se identifică prin comparare cu un etalon sau cu altă metodă și se corectează.

O valoare atipică (eroare grosolană) este o citire care se abate net de restul seriei, de exemplu din cauza unei diviziuni numărate greșit sau a unei perturbații în timpul măsurării. Pentru citirea suspectă $x_s$ se calculează media ${\bar{x}}^{\prime }$ și abaterea standard $s^{\prime }=\sqrt{\sum (x_i-{\bar{x}}^{\prime }{)}^2/(n^{\prime }-1)}$ ale celorlalte $n^{\prime }=n-1$ citiri, fără $x_s$. Citirea este atipică dacă $|x_s-{\bar{x}}^{\prime }|>3s^{\prime }$ (criteriul celor trei abateri standard).

Mai întâi se caută cauza: o citire a cărei cauză a fost găsită se corectează sau se elimină, chiar dacă nu depășește criteriul. Dacă nu se găsește nicio cauză, se aplică criteriul: citirea care îl depășește se elimină, iar cea care nu îl depășește rămâne în serie. Orice eliminare se notează în raport, cu valoarea scoasă și motivul, iar media și incertitudinea se recalculează cu citirile rămase. Regula are sens la serii de cel puțin cinci citiri; la una mai scurtă, măsurarea se repetă. Pentru $n$ citiri rămase, valoarea cea mai bună este media, iar incertitudinea ei se estimează cu $s/\sqrt{n}$.

Pentru o mărime $z$ calculată din mărimile măsurate $x$ și $y$, cu incertitudinile $u_x$ și $u_y$, metoda limitelor maxime dă marginea cea mai nefavorabilă, valabilă pentru incertitudini mici față de valori: la sumă și diferență, $z=x\pm y$, incertitudinile absolute se adună, $u_z=u_x+u_y$; la produs și raport, $z=xy$ sau $z=x/y$, incertitudinile relative se adună, $u_z/z=u_x/x+u_y/y$; la putere, $z=x^n$, $u_z/z=|n|u_x/x$. Incertitudinile nu se scad niciodată, nici la diferență: limita maximă ia combinația cea mai nefavorabilă a erorilor. Pentru erori aleatoare independente, o estimare mai realistă este $u_z=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$, valoare mai mică sau egală cu suma $u_x+u_y$. Metoda aleasă se declară în raport.

Diferența a două valori apropiate amplifică incertitudinea relativă. Pentru două bare cu $L_1=(1,20\pm 0,01)\mathrm{m}$ și $L_2=(0,80\pm 0,02)\mathrm{m}$, suma este $(2,00\pm 0,03)\mathrm{m}$, cu incertitudinea relativă $0,03/2,00=1,5\%$, iar diferența este $(0,40\pm 0,03)\mathrm{m}$, cu incertitudinea relativă $0,03/0,40=7,5\%$. De aceea, când este posibil, se măsoară direct diferența, nu două valori mari apropiate.

Rezultatul se scrie cu incertitudinea rotunjită la una sau două cifre semnificative, iar valoarea se rotunjește la aceeași zecimală. Atunci când citirea unui instrument are zeroul deplasat, corecția se aplică înainte de calcul: un cântar care indică $0,3\mathrm{g}$ fără nimic pe taler dă masa corectă $m=m_{\mathrm{citit}}-0,3\mathrm{g}$. Corecția de zero se aplică fiecărei citiri, iar incertitudinea ei se adaugă la incertitudinea citirii.

Exemplu rezolvat 1. Un corp are masa $m=(78,4\pm 0,1)\mathrm{g}$ și volumul $V=(29,0\pm 0,5)\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$. Se calculează densitatea cu incertitudinea ei.

1. Valoarea centrală este $\rho =m/V=78,4/29,0=2,703g/c{\mathrm{m}}^3$.
2. Incertitudinile relative sunt $0,1/78,4=0,0013$ și $0,5/29,0=0,0172$; la raport se adună: $0,0185$.
3. Incertitudinea absolută este $u_{\rho }=2,703\cdot 0,0185=0,050g/c{\mathrm{m}}^3$, deci $\rho =(2,70\pm 0,05)g/c{\mathrm{m}}^3$.

Incertitudinea volumului domină rezultatul: ea contribuie cu aproape $93\%$ din cea relativă totală.

Exemplu rezolvat 2. Accelerația gravitațională se află cu un pendul, din $g=4{\pi }^{2}l/T^2$. Se măsoară $l=(1,000\pm 0,002)\mathrm{m}$ și $T=(2,01\pm 0,01)\mathrm{s}$.

1. Valoarea centrală este $g=4{\pi }^2\cdot 1,000/2,01^2=39,478/4,0401=9,77m/{\mathrm{s}}^2$.
2. Incertitudinea relativă a lui $T$ intră de două ori, din cauza puterii a doua: $u_g/g=0,002/1,000+2\cdot 0,01/2,01=0,0020+0,0100=0,0120$.
3. Incertitudinea absolută este $u_g=9,77\cdot 0,0120=0,12m/{\mathrm{s}}^2$, deci $g=(9,77\pm 0,12)m/{\mathrm{s}}^2$.

Valoarea de referință $9,8m/{\mathrm{s}}^2$ se află în interval, deci măsurarea este compatibilă cu ea.

Exemplu rezolvat 3. Pentru perioada unui pendul se măsoară de șase ori durata a zece oscilații și se obțin, în secunde, $20,1$; $20,3$; $20,2$; $20,0$; $21,4$ și $20,2$. Citirea $21,4\mathrm{s}$ pare prea mare și nu i se găsește nicio cauză; decidem dacă este atipică.

1. Luăm celelalte cinci citiri: media lor este ${\bar{t}}^{\prime }=20,16\mathrm{s}$, iar abaterea standard este $s^{\prime }=\sqrt{0,052/4}\simeq 0,114\mathrm{s}$.
2. Abaterea citirii suspecte este $|21,4-20,16|=1,24\mathrm{s}$, iar $3s^{\prime }\simeq 0,34\mathrm{s}$. Cum $1,24>0,34$, citirea este atipică și se elimină; în raport se notează valoarea scoasă și criteriul folosit.
3. Cu cele cinci citiri rămase, incertitudinea mediei este $s^{\prime }/\sqrt{5}\simeq 0,05\mathrm{s}$, deci $t=(20,16\pm 0,05)\mathrm{s}$ pentru zece oscilații.

Dacă citirea suspectă ar fi fost $20,4\mathrm{s}$, abaterea ei de $0,24\mathrm{s}$ ar fi rămas sub $0,34\mathrm{s}$ și citirea s-ar fi păstrat. Păstrată în medie, citirea de $21,4\mathrm{s}$ ar fi dus la $20,37\mathrm{s}$, cu $0,2\mathrm{s}$ peste media corectă.

Greșeli frecvente

• Greșit: rezultatul se scrie cu toate zecimalele din calculator.
  Corect: incertitudinea se rotunjește la una sau două cifre semnificative, iar rezultatul se rotunjește după ea.
• Greșit: la un produs sau un raport se adună incertitudinile absolute.
  Corect: se adună incertitudinile relative; incertitudinile absolute se adună la sumă și la diferență.
• Greșit: la o diferență de două lungimi, incertitudinile se scad.
  Corect: ele se adună, deoarece erorile pot avea sensuri opuse sau același sens și limita maximă le consideră pe cele mai nefavorabile.
• Greșit: eroarea sistematică se micșorează prin repetarea măsurării.
  Corect: ea se identifică și se corectează separat; repetarea micșorează numai erorile aleatoare.
• Greșit: o valoare atipică se șterge din setul de date pentru că „strică media”.
  Corect: ea se elimină numai dacă are o cauză găsită sau dacă depășește criteriul $|x_s-{\bar{x}}^{\prime }|>3s^{\prime }$, iar eliminarea se notează în raport.
• Greșit: abaterea standard folosită la criteriu se calculează cu seria completă, inclusiv citirea suspectă.
  Corect: se calculează cu celelalte citiri, fiindcă o citire foarte îndepărtată își mărește singură abaterea standard și poate trece nedepistată.

Înainte și după