Erori și incertitudini de măsurare

Patru elevi măsoară lățimea aceleiași bănci cu aceeași ruletă și obțin $1,24\mathrm{m}$, $1,26\mathrm{m}$, $1,25\mathrm{m}$ și $1,25\mathrm{m}$. Banca nu și-a schimbat lățimea între măsurări. Diferențele apar din locul în care a fost așezată ruleta, din modul de citire și din limitele instrumentului. De aceea, o măsurare nu este o cifră „perfectă”: rezultatul este cunoscut doar cu o anumită incertitudine.

Repetarea măsurării ajută. Se calculează media valorilor: $(1,24+1,26+1,25+1,25)/4=1,25\mathrm{m}$. Media reduce influența variațiilor întâmplătoare ale citirilor. Ea nu repară însă un instrument defect: o ruletă cu un capăt tocit dă toate valorile mai mici sau mai mari cu aceeași cantitate.

Eroarea absolută a unei citiri arată cât se depărtează ea de medie: $\Delta x_i=|x_i-x_{\mathrm{med}}|$. Eroarea absolută medie este media acestor abateri și se folosește pentru a scrie rezultatul măsurării. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută medie și valoarea medie. Ea nu are unitate de măsură și permite compararea măsurărilor: o eroare de $1\mathrm{cm}$ la $1,25\mathrm{m}$ înseamnă $0,8\%$, dar aceeași eroare la un obiect de $5\mathrm{cm}$ ar fi de $20\%$.

Exemplu rezolvat. Scriem rezultatul măsurării lățimii băncii din cele patru valori de mai sus.

1. Media citirilor este $x_{\mathrm{med}}=1,25\mathrm{m}$.
2. Abaterile de la medie sunt $0,01\mathrm{m}$, $0,01\mathrm{m}$, $0$ și $0$.
3. Eroarea absolută medie este $(0,01+0,01+0+0)/4=0,005\mathrm{m}$.
4. Rezultatul se scrie $l=(1,250\pm 0,005)\mathrm{m}$.
5. Eroarea relativă este $\epsilon =0,005/1,25=0,004=0,4\%$.

Precizia arată cât de apropiate sunt între ele măsurările repetate. Acuratețea arată cât de aproape este rezultatul de valoarea corectă, atunci când aceasta este cunoscută dintr-o sursă sigură. Un cântar care arată de fiecare dată $0,2\mathrm{kg}$ în plus este precis, pentru că valorile lui sunt apropiate, dar nu este acurat.

Dacă o valoare diferă mult de celelalte, nu o șterge pe loc. Verifică mai întâi dacă nu ai citit alt marcaj sau dacă instrumentul a fost mișcat. Dacă eroarea se confirmă, o notezi ca atare și explici de ce nu a fost folosită în medie.

Într-un raport simplu, rezultatul se scrie cu atâtea zecimale câte permite instrumentul, cu unitatea de măsură și cu incertitudinea: nu „1,2500000 m”, ci $(1,250\pm 0,005)\mathrm{m}$. Astfel, oricine citește raportul știe cât de multă încredere poate avea în valoare.

Dacă există o valoare de referință $x_{\mathrm{ref}}$, eroarea absolută a unei determinări este $\Delta x=|x-x_{\mathrm{ref}}|$, în unitatea lui $x$, iar eroarea relativă este $\epsilon =\Delta x/x_{\mathrm{ref}}$, fără unitate, uneori exprimată în procente. Când valoarea adevărată nu este cunoscută, se lucrează cu media $\bar{x}=(x_1+\cdots +x_n)/n$ și cu abaterile $\Delta x_i=|x_i-\bar{x}|$. Eroarea absolută medie este $\overline{\Delta x}=(\Delta x_1+\cdots +\Delta x_n)/n$, iar eroarea relativă este $\epsilon =\overline{\Delta x}/\bar{x}$. Metoda folosită se declară în fiecare exercițiu, pentru că abaterea maximă, abaterea medie și incertitudinea instrumentului nu sunt aceeași mărime.

Incertitudinea rezultatului este cea mai mare dintre incertitudinea de citire a instrumentului (de regulă jumătate din diviziune) și abaterea calculată din date. Rezultatul se scrie $(\bar{x}\pm u)$: incertitudinea se rotunjește la una sau cel mult două cifre semnificative, iar valoarea medie se rotunjește la aceeași zecimală. O eroare sistematică, de exemplu zeroul greșit al unui cântar, mută toate citirile în același sens și nu dispare prin mediere. Precizia mare și acuratețea mică înseamnă deci erori sistematice mari și erori aleatoare mici. De exemplu, pentru o riglă cu diviziuni de $1\mathrm{mm}$, incertitudinea de citire este $0,5\mathrm{mm}$; dacă abaterea medie calculată din mai multe citiri este de numai $0,3\mathrm{mm}$, rezultatul se scrie totuși cu $\pm 0,5\mathrm{mm}$, fiindcă instrumentul nu permite o încredere mai mare.

Cifrele semnificative sunt toate cifrele unui număr, cu excepția zerourilor de la început: $0,0250$ are trei cifre semnificative, la fel ca $2,50\cdot 10^3$. Un rezultat calculat nu poate avea mai multe cifre semnificative decât cea mai puțin precisă dintre datele lui: $1,25\mathrm{m}\cdot 0,50\mathrm{m}=0,625{\mathrm{m}}^2$ se rotunjește la $0,63{\mathrm{m}}^2$, adică la două cifre semnificative.

Exemplu rezolvat 1. Un elev cronometrează cinci căderi ale aceleiași bile și notează $2,31$; $2,28$; $2,35$; $2,30$ și $2,29\mathrm{s}$. Se scrie rezultatul cu eroarea relativă.

1. Media este $\bar{t}=(2,31+2,28+2,35+2,30+2,29)/5=11,53/5=2,306\mathrm{s}\approx 2,31\mathrm{s}$.
2. Abaterile sunt $0,004$; $0,026$; $0,044$; $0,006$ și $0,016\mathrm{s}$, cu media $\overline{\Delta t}=0,096/5\approx 0,02\mathrm{s}$.
3. Rezultatul este $t=(2,31\pm 0,02)\mathrm{s}$, iar $\epsilon =0,02/2,31\approx 0,009=0,9\%$.

Eroarea relativă este sub $1\%$; abaterea de $0,02\mathrm{s}$ depășește rezoluția cronometrului ($0,01\mathrm{s}$), deci provine din împrăștierea citirilor, nu din instrument.

Exemplu rezolvat 2. O masă etalon are $100,0\mathrm{g}$. Elevul A obține $99,6$; $100,5$ și $99,9\mathrm{g}$, iar elevul B obține $102,1$; $102,0$ și $102,2\mathrm{g}$. Se compară acuratețea și precizia lor.

1. Media lui A este $300,0/3=100,0\mathrm{g}$, deci eroarea absolută față de etalon este $0\mathrm{g}$; eroarea absolută medie a citirilor este $(0,4+0,5+0,1)/3\approx 0,3\mathrm{g}$.
2. Media lui B este $306,3/3=102,1\mathrm{g}$; eroarea absolută față de etalon este $2,1\mathrm{g}$, deci $\epsilon =2,1/100,0=2,1\%$; eroarea absolută medie a citirilor este $(0+0,1+0,1)/3\approx 0,07\mathrm{g}$.
3. Valorile lui B sunt mai apropiate între ele, deci B este mai precis, iar media lui A este mai apropiată de etalon, deci A este mai acurat.

Eroarea sistematică de circa $2\mathrm{g}$ a lui B indică un zero deplasat sau un cântar nereglat.

Greșeli frecvente

• Greșit: orice diferență între două citiri este o „greșeală a elevului”.
  Corect: diferențele mici între citiri apar inevitabil, din cauza instrumentului și a citirii; ele se notează și se mediază.
• Greșit: precizia și acuratețea sunt același lucru.
  Corect: precizia privește apropierea citirilor între ele, iar acuratețea apropierea de valoarea de referință.
• Greșit: eroarea reală se calculează chiar când nu se cunoaște nicio valoare de referință.
  Corect: fără valoare de referință se estimează incertitudinea, de exemplu din abaterile față de medie.
• Greșit: rezultatul final păstrează toate zecimalele afișate de calculator.
  Corect: rezultatul se rotunjește la aceeași zecimală cu incertitudinea.
• Greșit: media mai multor citiri elimină orice eroare.
  Corect: media reduce erorile aleatoare, dar nu elimină o eroare sistematică.

Înainte și după