Tabele și grafice experimentale

Un experiment produce mai multe valori. Dacă măsori cât a parcurs o jucărie cu telecomandă la momente diferite, o înșiruire de numere devine greu de urmărit. Într-un tabel pui timpul într-o coloană și distanța în alta, iar în titlul fiecărei coloane scrii numele mărimii și unitatea de măsură: timp $t(\mathrm{s})$ și distanță $d(\mathrm{m})$. Fiecare rând arată valorile măsurate împreună.

Un grafic arată mai repede cum se schimbă o mărime în funcție de alta. De obicei timpul se așază pe axa orizontală, iar distanța pe axa verticală. Pe fiecare axă alegi o scară uniformă, de pildă $1\mathrm{cm}$ pe hârtie pentru $1\mathrm{s}$, apoi marchezi cu o cruciuliță fiecare pereche de valori din tabel.

Exemplu rezolvat. Jucăria a parcurs $0$; $3$; $6$; $9$ și $12\mathrm{m}$ la momentele $0$; $1$; $2$; $3$ și $4\mathrm{s}$. Punctele se așază pe o dreaptă care trece prin origine: în fiecare secundă distanța crește cu $3\mathrm{m}$, deci viteza este $12\mathrm{m}/4\mathrm{s}=3m/s$. Pentru momentul $2,5\mathrm{s}$, care nu apare în tabel, citești pe dreaptă valoarea $7,5\mathrm{m}$.

Alt exemplu: un vas cu apă este încălzit și temperatura se citește din minut în minut: $20$; $28$; $36$; $44$ și $52{}^{\circ }\mathrm{C}$ la minutele $0$; $1$; $2$; $3$ și $4$. Punctele se așază și aici pe o dreaptă, însă ea nu trece prin origine, pentru că apa avea $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ la început. În fiecare minut temperatura crește cu $8{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Nu forța punctele să formeze o dreaptă dacă datele nu arată așa. Uneori micile diferențe vin din măsurare, alteori mărimea chiar nu se schimbă regulat. Graficul te ajută să vezi dacă mărimea crește constant, încetinește sau se accelerează. Etichetele și unitățile sunt obligatorii: o axă pe care scrie doar „4” nu arată ce s-a măsurat.

Un grafic nu înlocuiește tabelul. Tabelul păstrează valorile exacte măsurate, iar graficul face relația dintre ele ușor de văzut. Folosite împreună, ele te ajută să explici rezultatul experimentului altcuiva.

Pe axa orizontală se așază variabila independentă (cea pe care o stabilește experimentatorul, de exemplu timpul), iar pe axa verticală variabila dependentă (cea măsurată). Scările se aleg astfel încât punctele să ocupe cea mai mare parte a graficului, iar fiecare axă poartă numele mărimii și unitatea. Punctele experimentale se notează cu o cruciuliță, eventual cu bare de eroare, iar printre ele se trasează dreapta de tendință, care trece cât mai aproape de toate punctele, nu prin toate.

Pentru o relație liniară $y=ax+b$, panta $a=\Delta y/\Delta x$ are unitatea „unitatea lui $y$ împărțită la unitatea lui $x$”, iar ordonata la origine $b$ are unitatea lui $y$. Panta se calculează cu două puncte de pe dreaptă, aflate departe unul de altul, nu cu puncte din tabel. Dacă $b=0$, mărimile sunt direct proporționale. Aria dintre grafic și axa orizontală are unitatea produsului celor două unități: aria de sub graficul $v(t)$ este o distanță, în $\mathrm{m}$. Valorile citite între punctele măsurate se numesc interpolări; valorile citite în afara intervalului măsurat se numesc extrapolări și sunt valabile numai dacă relația rămâne aceeași și acolo.

Când relația nu este liniară, se alege altă variabilă pe axă, astfel încât graficul să devină o dreaptă (linearizare). Dacă $y=k{x}^2$, graficul lui $y$ în funcție de $x^2$ este o dreaptă cu panta $k$. Dispersia punctelor în jurul dreptei arată mărimea erorilor aleatoare; dacă toate punctele se abat în același sens de la dreapta, există o eroare sistematică. Două serii de date se compară pe același grafic, cu aceleași scări și cu simboluri diferite pentru fiecare serie.

Exemplu rezolvat 1. Un mobil are pozițiile $3,0$; $7,1$; $10,9$ și $15,0\mathrm{m}$ la momentele $0$; $2$; $4$ și $6\mathrm{s}$. Se află legea mișcării din graficul $x(t)$.

1. Dreapta de tendință trece prin punctele extreme, $(0\mathrm{s};3,0\mathrm{m})$ și $(6\mathrm{s};15,0\mathrm{m})$, iar celelalte două puncte se află la cel mult $0,1\mathrm{m}$ de ea.
2. Panta este $a=(15,0-3,0)\mathrm{m}/(6-0)\mathrm{s}=2,0m/s$, adică viteza mobilului.
3. Ordonata la origine este $b=3,0\mathrm{m}$, poziția inițială, deci $x=3,0+2,0t$, cu $x$ în metri și $t$ în secunde.

Panta are aici sens de viteză, iar ordonata la origine nenulă arată că mobilul nu a pornit din originea axei.

Exemplu rezolvat 2. Un corp care pornește din repaus are distanțele $1,1$; $3,9$ și $9,1\mathrm{m}$ la momentele $1$; $2$ și $3\mathrm{s}$. Se verifică dacă $d=a{t}^2/2$ și se află accelerația.

1. Se calculează $t^2$: $1$; $4$ și $9{\mathrm{s}}^2$. Graficul lui $d$ în funcție de $t^2$ este, cu bună aproximare, o dreaptă prin origine.
2. Panta este $(9,1-1,1)\mathrm{m}/(9-1){\mathrm{s}}^2=1,0m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Panta este egală cu $a/2$, deci $a=2\cdot 1,0=2,0m/{\mathrm{s}}^2$.

Linearizarea transformă o parabolă într-o dreaptă, a cărei pantă se citește ușor.

Greșeli frecvente

• Greșit: axele nu au numele mărimii și unitatea.
  Corect: fiecare axă are numele mărimii și unitatea de măsură.
• Greșit: panta este înălțimea graficului într-un punct.
  Corect: panta este raportul dintre variații, $\Delta y/\Delta x$, cu unitatea ei.
• Greșit: dreapta se trasează obligatoriu prin origine.
  Corect: dreapta urmează punctele; ordonata la origine nenulă se interpretează fizic (o poziție inițială, o temperatură inițială) sau ca eroare de zero.
• Greșit: punctele se unesc cu linii frânte, de la unul la altul.
  Corect: se trasează o linie de tendință care trece cât mai aproape de toate punctele.

Înainte și după