Circuite RLC în curent alternativ

Într-un circuit pot fi puse împreună un rezistor, o bobină și un condensator. Prescurtarea RLC vine de la numele lor. Dacă le conectăm în serie la o tensiune alternativă, același curent trece prin toate, însă tensiunile pe ele nu ating maximele în același moment. De aceea nu putem aduna pur și simplu valorile efective ale tensiunilor ca pe numere obișnuite.

Bobina și condensatorul reacționează diferit la frecvență. La frecvența de rezonanță a circuitului serie, reactanțele lor sunt egale: $X_L=X_C$. Impedanța devine $Z=R$, valoarea sa minimă, iar intensitatea efectivă este maximă: $I_{\mathrm{ef}}=U_{\mathrm{ef}}/R$, pentru tensiune și rezistență fixate. Sursa furnizează energia, iar rezistorul o disipă.

Un circuit RLC poate selecta sau favoriza anumite frecvențe. Această idee a stat la baza acordării receptoarelor radio și se folosește în filtre electronice. Selectivitatea depinde de rezistență: o rezistență mai mare reduce vârful de rezonanță într-un circuit serie simplu. Circuitul real are și pierderi în bobină și condensator, deci modelul ideal este o aproximație.

Pentru a înțelege circuitul, întreabă mai întâi ce frecvență are sursa și dacă elementele sunt în serie sau în paralel. Lecția de aici tratează în principal cazul serie. Circuitul RLC paralel are altă formulă a impedanței, prezentată în secțiunea „În detaliu”. Desenul conexiunilor este la fel de important ca valorile componentelor.

Începem cu RLC serie. Prin cele trei elemente trece același curent $i$, iar tensiunile instantanee se adună: $u=u_R+u_L+u_C$. Față de curent, $u_R$ este în fază, $u_L$ este înaintea lui cu $\pi /2$, iar $u_C$ este în urma lui cu $\pi /2$. De aceea tensiunile efective se compun cu relația $U^2=U_R^2+(U_L-U_C{)}^2$. Cu $U_R=RI$, $U_L=X_{L}I$ și $U_C=X_{C}I$, rezultă $U=ZI$, unde impedanța este $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$, în ohmi, cu $X_L=\omega L$ și $X_C=1/(\omega C)$. Intensitatea efectivă este $I_{\mathrm{ef}}=U_{\mathrm{ef}}/Z$.

Defazajul tensiunii față de curent, $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$, satisface $\mathrm{tg}\phi =(X_L-X_C)/R$. Dacă $X_L>X_C$, $\phi >0$ și circuitul este inductiv; dacă $X_L<X_C$, $\phi <0$ și circuitul este capacitiv. Puterea activă este $P=UI\cos \phi =R{I}^2$, cu $\cos \phi =R/Z$.

La rezonanță, $X_L=X_C$, adică ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ și $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$. Atunci $Z=R$ este minimă, $I_{\mathrm{ef}}=U_{\mathrm{ef}}/R$ este maximă, $\phi =0$ și $\cos \phi =1$. Tensiunile pe bobină și pe condensator sunt egale și au sensuri opuse în fiecare moment; modulul lor este $U_L=U_C=QU$, cu factorul de calitate $Q={\omega }_{0}L/R$. Dacă $Q>1$, ele depășesc tensiunea sursei. Cu cât $R$ este mai mică, cu atât $Q$ este mai mare și cu atât curba $I_{\mathrm{ef}}(f)$ este mai ascuțită. Un receptor radio se acordă variind $C$ până când $f_0$ coincide cu frecvența emițătorului.

Pentru RLC paralel ideal, tensiunea este aceeași pe cele trei ramuri, iar curenții sunt $I_R=U/R$, $I_L=U/X_L$ și $I_C=U/X_C$. Curentul total este $I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L{)}^2}$, deci $1/Z=\sqrt{1/R^2+(1/X_C-1/X_L{)}^2}$. La $X_L=X_C$, curenții $I_L$ și $I_C$ sunt egali și în opoziție, impedanța este maximă, $Z=R$, iar curentul absorbit de la sursă este minim.

Exemplu rezolvat 1. Un circuit RLC serie are $R=40\Omega$, $L=0,30\mathrm{H}$ și $C=60\mu \mathrm{F}$ și este alimentat la $U=230\mathrm{V}$, $f=50\mathrm{Hz}$.

1. Reactanțele sunt $X_L=2\pi \cdot 50\cdot 0,30\approx 94,2\Omega$ și $X_C=1/(2\pi \cdot 50\cdot 60\cdot 10^{-6})\approx 53,1\Omega$.
2. Impedanța este $Z=\sqrt{40^2+(94,2-53,1{)}^2}\approx 57,4\Omega$.
3. Intensitatea efectivă este $I=U/Z=230/57,4\approx 4,0\mathrm{A}$.
4. Defazajul satisface $\mathrm{tg}\phi =41,1/40\approx 1,03$, deci $\phi \approx 46^{\circ }$: circuitul este inductiv.
5. Tensiunile sunt $U_R=40\cdot 4,0=160\mathrm{V}$, $U_L=94,2\cdot 4,0\approx 377\mathrm{V}$ și $U_C=53,1\cdot 4,0\approx 212\mathrm{V}$.
6. Puterea activă este $P=R{I}^2=40\cdot 4,0^2=640\mathrm{W}$; același rezultat, rotunjit, dă $UI\cos \phi$ cu $\cos \phi =R/Z\approx 0,70$.

Suma aritmetică a celor trei tensiuni este aproape $750\mathrm{V}$, mult peste tensiunea sursei, pentru că ele nu ating maximele în același moment. Relația corectă $\sqrt{160^2+(377-212{)}^2}\approx 230\mathrm{V}$ regăsește tensiunea sursei, iar singurul element care consumă putere activă este rezistorul.

Exemplu rezolvat 2. Un circuit serie are $R=20\Omega$, $L=0,20\mathrm{H}$, $C=50\mu \mathrm{F}$ și este alimentat la $U=10\mathrm{V}$, cu frecvența reglată la rezonanță.

1. Calculăm $LC=0,20\cdot 50\cdot 10^{-6}=1,0\cdot 10^{-5}{\mathrm{s}}^2$.
2. Pulsația de rezonanță este ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}\approx 316rad/s$, deci $f_0={\omega }_0/(2\pi )\approx 50,3\mathrm{Hz}$.
3. La această frecvență, $X_L=X_C={\omega }_{0}L\approx 63,2\Omega$, deci $Z=R=20\Omega$.
4. Intensitatea efectivă este $I=U/R=10/20=0,50\mathrm{A}$, iar puterea activă $P=UI=5,0\mathrm{W}$.
5. Factorul de calitate este $Q=63,2/20\approx 3,16$, deci $U_L=U_C=QU\approx 31,6\mathrm{V}$.

Tensiunea pe bobină este de peste trei ori mai mare decât tensiunea sursei, dar bobina și condensatorul schimbă energie între ele și sursa furnizează numai ceea ce se disipă pe rezistor.

Greșeli frecvente

• Greșit: $Z=R+X_L+X_C$.
  Corect: $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$.
• Greșit: la rezonanță apare energie suplimentară.
  Corect: sursa furnizează energia, rezistorul o disipă.
• Greșit: formula serie se folosește și la RLC paralel.
  Corect: circuitul paralel are altă formulă a impedanței.
• Greșit: la rezonanța circuitului serie, tensiunile pe bobină și pe condensator sunt nule, pentru că reactanțele se anulează.
  Corect: reactanțele se anulează în impedanță, dar $U_L=U_C=QU$ și pot depăși tensiunea sursei.

Înainte și după