Teorema variației impulsului

Impulsul unui corp depinde de masa și viteza lui: $\vec{p}=m\vec{v}$. O forță care acționează un timp schimbă acest impuls. De aceea, aceeași schimbare de mișcare se poate produce printr-o forță mare într-un timp scurt sau printr-o forță mai mică într-un timp mai lung. Teorema variației impulsului leagă cele două idei.

Pentru o forță rezultantă constantă pe intervalul $\Delta t$, $\Delta \vec{p}={\vec{F}}_{\mathrm{rez}}\Delta t$. Semnul sau sensul variației este esențial. Dacă o minge ricoșează înapoi, variația impulsului ei nu este doar diferența dintre modulele vitezelor.

Exemplu: o minge de $0,20\mathrm{kg}$ merge spre dreapta cu $10m/s$ și revine spre stânga cu $5m/s$. Cu dreapta pozitivă, $p_i=+2,0\mathrm{kg}m/s$, $p_f=-1,0\mathrm{kg}m/s$ și $\Delta p=-3,0\mathrm{kg}m/s$. Dacă interacțiunea durează $0,10\mathrm{s}$, forța rezultantă medie este $F_{\mathrm{med}}=\Delta p/\Delta t=-30\mathrm{N}$.

Pentru un corp de masă constantă, ${\vec{F}}_{\mathrm{rez}}=m\vec{a}=m({\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i)/\Delta t$, deci ${\vec{F}}_{\mathrm{rez}}\Delta t=m{\vec{v}}_f-m{\vec{v}}_i$. Produsul $\vec{J}=\vec{F}\Delta t$ se numește impulsul forței și se măsoară în $\mathrm{N}\mathrm{s}=\mathrm{kg}m/s$. Teorema variației impulsului spune că $\Delta \vec{p}={\vec{J}}_{\mathrm{rez}}$: variația impulsului corpului este egală cu impulsul forței rezultante. Pe o axă, ambii membri au semn, iar semnul se alege odată cu sensul pozitiv. Vectorul $\Delta \vec{p}$ are direcția rezultantei, care poate fi diferită de direcția vitezei: pentru un corp care se oprește, $\Delta \vec{p}$ este opus vitezei inițiale.

Dacă forța variază, impulsul ei este aria cu semn de sub graficul $F_x(t)$, iar forța medie pe interval este $F_{\mathrm{med}}=J/\Delta t$. Teorema se aplică separat pe fiecare axă: într-un ricoșeu oblic se scriu două ecuații, câte una pentru $p_x$ și $p_y$. În ciocniri scurte, forța de contact este de multe ori mai mare decât greutatea și greutatea se neglijează; când forța de contact nu este mult mai mare, în rezultanta de pe verticală intră și greutatea.

Teorema explică de ce schimbarea aceleiași $\Delta p$ în timp mai lung dă forță mai mică: de aceea te îndoi din genunchi la aterizare, iar automobilele au zone deformabile și perne de aer, care măresc $\Delta t$ și micșorează $F_{\mathrm{med}}$.

Aceeași idee explică și situații în care se urmărește efectul opus. Când prinzi o minge rapidă, mâna se retrage odată cu ea: prelungești durata opririi, deci forța exercitată asupra mâinii scade. Când bați un cui cu ciocanul, contactul este foarte scurt, iar forța medie, pentru aceeași variație de impuls, este mare. În ciocniri foarte scurte durata $\Delta t$ nu se măsoară ușor; se cunoaște variația impulsului, iar forța medie se estimează din ea.

Exemplu rezolvat 1. Asupra unui corp de $3\mathrm{kg}$, aflat inițial în repaus, acționează în sens pozitiv o forță al cărei grafic crește liniar de la $0$ la $40\mathrm{N}$ în $0,10\mathrm{s}$, rămâne $40\mathrm{N}$ timp de $0,20\mathrm{s}$ și scade liniar la $0$ în $0,10\mathrm{s}$. Aflăm viteza finală și forța medie.

1. Aria de sub grafic are trei părți: triunghiul de creștere, $\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 0,10=2\mathrm{N}\mathrm{s}$, dreptunghiul, $40\cdot 0,20=8\mathrm{N}\mathrm{s}$, și triunghiul de scădere, $2\mathrm{N}\mathrm{s}$.
2. Impulsul forței este $J=2+8+2=12\mathrm{N}\mathrm{s}$.
3. Din $J=m(v_f-0)$ rezultă $v_f=12/3=4m/s$.
4. Durata totală este $0,40\mathrm{s}$, deci $F_{\mathrm{med}}=12/0,40=30\mathrm{N}$.

Forța medie, $30\mathrm{N}$, este mai mică decât vârful de $40\mathrm{N}$. Aceeași variație de impuls ar fi produsă de o forță constantă de $30\mathrm{N}$ pe $0,40\mathrm{s}$ sau de una de $120\mathrm{N}$ pe $0,10\mathrm{s}$: contează aria de sub grafic, nu forma lui.

Exemplu rezolvat 2. O minge de $0,4\mathrm{kg}$ cade de la $1,8\mathrm{m}$, lovește podeaua și revine până la $0,8\mathrm{m}$. Contactul cu podeaua durează $0,02\mathrm{s}$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm forța medie cu care podeaua acționează asupra mingii.

1. Viteza la impact, spre în jos: $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 1,8}=6m/s$. Cu axa orientată în sus, $v_i=-6m/s$.
2. Viteza la desprindere, spre în sus: $\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,8}=4m/s$, deci $v_f=+4m/s$.
3. $\Delta p=m(v_f-v_i)=0,4\cdot (4+6)=4\mathrm{kg}m/s$.
4. Rezultanta medie este $\Delta p/\Delta t=4/0,02=200\mathrm{N}$, în sus. Rezultanta este $N-mg$, deci $N_{\mathrm{med}}=200+4=204\mathrm{N}$.

Greutatea mingii, $4\mathrm{N}$, este sub $2\%$ din forța de contact.

Se cer opriri și ricoșeuri ale unor corpuri, lovituri cu forța dată printr-un grafic și comparații între timpi de contact diferiți. Se pornește de la $\Delta \vec{p}={\vec{F}}_{\mathrm{rez}}\Delta t$, de la $F_{\mathrm{med}}=\Delta p/\Delta t$ și, pentru un ricoșeu pe aceeași axă, de la $|\Delta p|=m(|v_i|+|v_f|)$. Forța medie dintr-un grafic se obține împărțind aria la durata totală, nu făcând media aritmetică dintre valoarea maximă și cea minimă. Atenție la forța cerută: forța rezultantă medie nu este forța de contact, dacă greutatea trebuie luată în seamă.

După calcul compară ordinul de mărime cu situația descrisă: o forță medie de zeci de kilonewtoni este plauzibilă la oprirea unui automobil de o tonă în câteva sutimi de secundă, în timp ce un rezultat de ordinul newtonilor arată o greșeală de unități. Trei obiceiuri previn greșelile: vitezele în $km/h$ și durata în $\mathrm{ms}$ se transformă în unități SI; sensul pozitiv se alege la început și se păstrează; la un corp care se oprește, $\Delta p=-m{v}_i$, iar la un ricoșeu, $\Delta p$ cuprinde și revenirea.

Exemplu în formatul examenului. Un autoturism de $1000\mathrm{kg}$ lovește un zid cu viteza de $54km/h$ și se oprește în $0,15\mathrm{s}$, fără să ricoșeze. Modulul forței medii exercitate de zid este:

• a) $2,25\mathrm{kN}$
• b) $200\mathrm{kN}$
• c) $360\mathrm{kN}$
• d) $100\mathrm{kN}$

Rezolvare.

1. Viteza în metri pe secundă: $v_i=54/3,6=15m/s$.
2. Autoturismul se oprește, deci $\Delta p=0-1000\cdot 15=-15000\mathrm{kg}m/s$.
3. $F_{\mathrm{med}}=\Delta p/\Delta t=-15000/0,15=-100000\mathrm{N}$, adică modulul $100\mathrm{kN}$.

Valoarea a) rezultă din produsul $mv\Delta t$ în loc de raport, b) rezultă din tratarea cazului ca ricoșeu, cu $\Delta p=2mv$, iar c) rezultă din viteza lăsată în $km/h$.

Răspuns corect: d).

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna modulele vitezelor fără a fixa sensurile la un ricoșeu.
  Corect: viteza de întoarcere are semn opus pe aceeași axă.
• Greșit: a confunda impulsul corpului, în $\mathrm{kg}m/s$, cu forța, în $\mathrm{N}$.
  Corect: impulsul forței este $F\Delta t$, în $\mathrm{N}\mathrm{s}$, egal dimensional cu variația impulsului corpului.
• Greșit: a presupune aceeași forță medie indiferent de timpul de contact.
  Corect: pentru aceeași $\Delta p$, $F_{\mathrm{med}}=\Delta p/\Delta t$.
• Greșit: a neglija mereu greutatea în rezultanta de la o lovitură.
  Corect: greutatea se neglijează doar când forța de contact este mult mai mare decât ea; altfel $F_{\mathrm{rez}}=N-mg$.

Înainte și după