Impulsul și conservarea lui

Impulsul unui corp este o mărime vectorială definită prin $\vec{p}=m\vec{v}$. Direcția și sensul lui sunt cele ale vitezei. Un corp masiv și unul ușor pot avea impulsuri egale dacă vitezele lor sunt diferite.

Impulsul se poate schimba când acționează o forță un anumit timp. Într-un sistem de corpuri, forțele interne mută impuls de la un corp la altul. Dacă impulsul forțelor externe este nul sau neglijabil, impulsul total se conservă. Lecțiile „Teorema variației impulsului”, „Conservarea impulsului” și „Ciocniri unidimensionale” dezvoltă aceste situații.

Exemplu: două corpuri au impulsurile $+6\mathrm{kg}m/s$ și $-4\mathrm{kg}m/s$ pe aceeași axă. Impulsul total este $+2\mathrm{kg}m/s$, nu $10\mathrm{kg}m/s$, fiindcă se adună componentele cu semn.

Impulsul $\vec{p}=m\vec{v}$ se măsoară în $\mathrm{kg}m/s$, unitate echivalentă cu $\mathrm{N}\mathrm{s}$. Pe o axă orientată, impulsul are o componentă $p_x=m{v}_x$ cu semn: pozitivă dacă mișcarea are sensul axei, negativă în caz contrar. Când mișcarea are loc în plan, componentele $p_x$ și $p_y$ se adună separat, iar modulul rezultă din teorema lui Pitagora, $p=\sqrt{p_x^2+p_y^2}$, cu unghiul față de axa $x$ dat de $\mathrm{tg}\phi =p_y/p_x$.

Impulsul total al unui sistem este suma vectorială $\vec{P}={\sum }_i{\vec{p}}_i$. Doi vectori egali în modul și opuși ca sens dau suma nulă, chiar dacă fiecare corp se mișcă. Pentru masă constantă, legea fundamentală a dinamicii se poate scrie ${\vec{F}}_{\mathrm{rez}}=\Delta \vec{p}/\Delta t$, pentru forța rezultantă medie pe intervalul $\Delta t$, și arată că forța schimbă impulsul, nu îl produce din nimic. Forțele interne se compensează în suma pentru tot sistemul, deoarece apar în perechi pe corpuri diferite.

Valoarea impulsului se schimbă odată cu reperul: un colet așezat pe o bandă rulantă care merge cu $0,5m/s$ are impuls nul față de bandă și $m\cdot 0,5m/s$ față de hală. Ca ordine de mărime, un om de $70\mathrm{kg}$ care merge cu $1,5m/s$ are impulsul $105\mathrm{kg}m/s$, iar un automobil de $1200\mathrm{kg}$ cu viteza de $20m/s$ are $24000\mathrm{kg}m/s$.

Impulsul și energia cinetică sunt mărimi diferite, legate prin $E_c=p^2/(2m)$. Impulsul este vectorial și poate fi negativ pe o axă, iar energia cinetică este scalară și nenegativă. La impuls egal, corpul mai ușor are energia cinetică mai mare. Impulsul total al unui sistem poate rămâne constant în timp ce energia cinetică totală se schimbă, cum se întâmplă la o explozie sau la o ciocnire în care corpurile rămân lipite; de aceea cele două conservări se tratează separat.

Exemplu rezolvat 1. Un automobil de $1000\mathrm{kg}$ merge spre est cu $10m/s$, iar un camion de $2000\mathrm{kg}$ merge spre nord cu $5m/s$. Aflăm impulsul total al celor două vehicule.

1. Alegem axa $x$ spre est și axa $y$ spre nord.
2. Impulsul automobilului: $p_x=1000\cdot 10=10000\mathrm{kg}m/s$.
3. Impulsul camionului: $p_y=2000\cdot 5=10000\mathrm{kg}m/s$.
4. Modulul totalului: $P=\sqrt{10000^2+10000^2}\approx 14142\mathrm{kg}m/s$.

Direcția totalului formează cu estul unghiul $\phi$ cu $\mathrm{tg}\phi =1$, adică $45^{\circ }$ spre nord. Impulsul total nu este suma modulelor ($20000\mathrm{kg}m/s$), pentru că impulsurile au direcții diferite. Dacă vehiculele s-ar mișca în sensuri opuse pe aceeași dreaptă, totalul ar fi diferența, $10000-10000=0$, deși ambele se mișcă.

Exemplu rezolvat 2. Un glonț de $10\mathrm{g}$ zboară cu $600m/s$, iar un bloc de $6\mathrm{kg}$ alunecă cu $1m/s$. Comparăm impulsurile și energiile cinetice.

1. Glonțul: $p=0,01\cdot 600=6\mathrm{kg}m/s$ și $E_c=\frac{1}{2}\cdot 0,01\cdot 600^2=1800\mathrm{J}$.
2. Blocul: $p=6\cdot 1=6\mathrm{kg}m/s$ și $E_c=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 1^2=3\mathrm{J}$.
3. Raportul energiilor este $1800/3=600$, egal cu raportul vitezelor la același impuls.

Impulsurile sunt egale, dar energiile diferă de $600$ de ori.

La examen, impulsul apare în enunțuri cu mai multe corpuri care se mișcă pe aceeași dreaptă sau pe direcții perpendiculare, în grafice $p(t)$ și în comparații cu energia cinetică. Rezolvările se bazează pe $\vec{p}=m\vec{v}$, $\vec{P}={\sum }_i{\vec{p}}_i$, $p=\sqrt{2m{E}_c}$ și $F_{\mathrm{rez}}=\Delta p/\Delta t$. Pe un grafic $p(t)$, panta dreptei este forța rezultantă, iar un grafic $p(t)$ orizontal înseamnă forță rezultantă nulă.

Trei reguli evită erorile: masa în tone sau grame și viteza în $km/h$ se transformă în unități SI înainte de calcul; impulsurile de sens opus se scad, iar cele perpendiculare se compun cu teorema lui Pitagora; impulsul nu este forță, deci nu se măsoară în newtoni. Impulsul total nul nu înseamnă repaus: două corpuri cu impulsuri opuse și egale au suma zero, dar energia cinetică totală este pozitivă.

Exemplu în formatul examenului. Un camion de $2\mathrm{t}$ merge spre est cu $18km/h$, iar o mașină de $1\mathrm{t}$ merge spre vest cu $72km/h$. Impulsul total al celor două vehicule, cu sensul spre est ca sens pozitiv, este:

• a) $+3,0\cdot 10^4\mathrm{kg}m/s$
• b) $+1,0\cdot 10^4\mathrm{kg}m/s$
• c) $-1,0\cdot 10^4\mathrm{kg}m/s$
• d) $-3,6\cdot 10^4\mathrm{kg}m/s$

Rezolvare.

1. Convertim în unități SI: $m_1=2000\mathrm{kg}$, $v_1=18/3,6=5m/s$; $m_2=1000\mathrm{kg}$, $v_2=72/3,6=20m/s$.
2. Componentele pe axa orientată spre est: $p_1=+2000\cdot 5=+10000$ și $p_2=-1000\cdot 20=-20000$.
3. Suma este $P=10000-20000=-10000\mathrm{kg}m/s=-1,0\cdot 10^4\mathrm{kg}m/s$.

Suma modulelor dă a), semnul inversat dă b), iar vitezele lăsate în $km/h$ dau d).

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda impulsul $\vec{p}$ cu forța $\vec{F}$.
  Corect: impulsul este $m\vec{v}$, în $\mathrm{kg}m/s$; forța schimbă impulsul.
• Greșit: a aduna modulele impulsurilor de sens opus.
  Corect: pe o axă, se adună componentele cu semn.
• Greșit: a aplica conservarea impulsului fără a examina forțele externe.
  Corect: conservarea cere impuls extern total nul sau neglijabil.
• Greșit: a crede că două corpuri cu energii cinetice egale au impulsuri egale.
  Corect: $p=\sqrt{2m{E}_c}$, deci la aceeași energie cinetică are impulsul mai mare corpul cu masa mai mare.

Înainte și după