Conservarea impulsului

Două cărucioare se împing unul pe altul și se depărtează. Impulsul fiecăruia se schimbă. Dacă privim ambele cărucioare împreună și impulsul forțelor externe este nul, suma vectorială a impulsurilor rămâne aceeași înainte și după interacțiune. Aceasta este conservarea impulsului.

Două corpuri aflate inițial în repaus se îndepărtează unul de altul după o interacțiune internă. Impulsurile lor au sensuri opuse, iar suma lor rămâne zero. Dacă masele sunt diferite, corpul cu masa mai mare are viteza mai mică, deoarece modulele impulsurilor sunt egale: $m_1{v}_1=m_2{v}_2$. Conservarea se referă la impuls, nu la egalitatea vitezelor.

Condiția este importantă: impulsul forțelor externe care acționează asupra sistemului ales, pe intervalul studiat, trebuie să fie nul sau neglijabil față de impulsurile corpurilor. Dacă podeaua exercită o frecare mare timp îndelungat, impulsul total al celor două cărucioare nu se păstrează singur. Poți include și podeaua în sistem, dar atunci problema și mărimile urmărite devin diferite. În ciocniri și explozii, forțele dintre corpuri sunt foarte mari și acționează un timp foarte scurt, deci impulsul forțelor externe finite, cum sunt greutatea și frecarea, este neglijabil în comparație cu ele.

Pe o linie dreaptă, alege dreapta ca sens pozitiv. Un cărucior care merge spre stânga are impuls negativ. Aduni algebric, nu aduni modulele. Aceasta face legea utilă la separări, recul și ciocniri.

Pentru două corpuri care interacționează, forțele dintre ele sunt egale și opuse, ${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$, și acționează în același interval $\Delta t$. Variațiile impulsurilor lor sunt $\Delta {\vec{p}}_1={\vec{F}}_{12}\Delta t$ și $\Delta {\vec{p}}_2={\vec{F}}_{21}\Delta t$, deci $\Delta {\vec{p}}_1=-\Delta {\vec{p}}_2$ și $\Delta ({\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2)=0$. Pentru un sistem oarecare, $\Delta \vec{P}={\vec{J}}_{\mathrm{ext}}$, unde $\vec{P}={\sum }_i{m}_i{\vec{v}}_i$ și ${\vec{J}}_{\mathrm{ext}}$ este impulsul forțelor externe. Dacă ${\vec{J}}_{\mathrm{ext}}=\vec{0}$, atunci ${\vec{P}}_f={\vec{P}}_i$.

Un sistem este izolat dacă asupra lui nu acționează forțe externe sau dacă rezultanta lor este nulă. Reculul unei arme arată conservarea la modul cel mai simplu: o pușcă de $4\mathrm{kg}$ trage un glonț de $10\mathrm{g}$ cu $600m/s$; din $0=0,01\cdot 600+4V$ rezultă $V=-1,5m/s$, adică pușca se mișcă în sens opus glonțului, cu o viteză de $400$ de ori mai mică, pe măsura raportului maselor.

Conservarea se poate aplica și pe o singură direcție: dacă suma componentelor forțelor externe pe o axă este nulă, componenta $P_x$ se conservă, chiar dacă pe altă axă impulsul se schimbă. Un proiectil care explodează în aer își păstrează componenta orizontală a impulsului total, deși greutatea îi schimbă componenta verticală.

Toate vitezele din ecuație se măsoară față de același reper. Dacă un corp se mișcă cu viteza $u$ față de un alt corp aflat în mișcare, viteza lui față de reper este suma vectorială dintre $u$ și viteza reperului mobil. Conservarea impulsului nu garantează conservarea energiei: la explozie energia cinetică crește, iar la ciocnirea în care corpurile rămân lipite scade.

Sensul pozitiv al axei se alege liber, dar trebuie păstrat pe tot parcursul problemei. Dacă o viteză iese negativă, nu este o greșeală: corpul se mișcă în sens opus celui ales ca pozitiv. Rezultatul se interpretează întotdeauna în raport cu axa fixată la început, iar răspunsul final spune și sensul mișcării, nu numai valoarea numerică.

Exemplu rezolvat 1. O persoană de $60\mathrm{kg}$ stă pe o barcă de $120\mathrm{kg}$, aflată în repaus pe apa liniștită, și sare orizontal cu viteza de $4m/s$ față de barcă. Neglijăm rezistența apei. Aflăm vitezele față de mal.

1. Alegem sensul săriturii ca sens pozitiv. Notăm cu $V$ viteza bărcii față de mal; viteza persoanei față de mal este $v=4+V$.
2. Impulsul inițial este zero, iar sistemul persoană–barcă este izolat pe orizontală: $60(4+V)+120V=0$.
3. Rezultă $240+180V=0$, deci $V=-\frac{4}{3}\approx -1,33m/s$.
4. Viteza persoanei față de mal este $v=4-1,33\approx 2,67m/s$.

Verificare: $60\cdot 2,67=160\mathrm{kg}m/s$, iar $120\cdot (-1,33)=-160\mathrm{kg}m/s$, suma fiind zero.

Exemplu rezolvat 2. Un proiectil de $10\mathrm{kg}$ zboară orizontal cu $100m/s$ și explodează în două fragmente. Fragmentul de $6\mathrm{kg}$ continuă înainte cu $150m/s$. Aflăm viteza celuilalt fragment și energia degajată de explozie.

1. Conservarea componentei orizontale, cu sensul zborului pozitiv: $10\cdot 100=6\cdot 150+4v_2$.
2. Rezultă $4v_2=1000-900=100$, deci $v_2=+25m/s$, în sensul inițial. Semnul pozitiv arată că și al doilea fragment merge înainte, dar mai încet decât proiectilul întreg; dacă valoarea ar fi ieșit negativă, fragmentul ar fi zburat înapoi.
3. Energia cinetică inițială este $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 100^2=50000\mathrm{J}$.
4. Energia finală este $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 150^2+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 25^2=67500+1250=68750\mathrm{J}$.

Explozia a transformat energia chimică a încărcăturii în energie cinetică: $68750-50000=18750\mathrm{J}$.

Se întâlnesc saltul pe un cărucior sau pe o barcă, reculul unei arme, explozia unui proiectil în fragmente și ciocnirea corpurilor care rămân lipite. Ecuația este ${\sum }_i{m}_i{v}_{i,\mathrm{ini}\mathrm{ț}\mathrm{ial}}={\sum }_i{m}_i{v}_{i,\mathrm{final}}$, scrisă pe o axă orientată. Dacă enunțul dă o viteză față de un corp mobil, se trece mai întâi la viteza față de sol.

Cele mai frecvente erori sunt semnele vitezelor și vitezele relative introduse direct în ecuație, ca și cum ar fi față de sol. După ce corpurile se cuplează, în ecuație apare suma maselor, iar viteza comună are o valoare cuprinsă între cele două viteze inițiale dacă ele au același sens. Rezultatul se verifică recalculând impulsul total după interacțiune, care trebuie să fie egal cu cel de la început.

Exemplu în formatul examenului. Un om de $80\mathrm{kg}$ aleargă cu $5m/s$ și sare pe un cărucior de $40\mathrm{kg}$ care se mișcă în același sens cu $2m/s$. Neglijăm frecările. Viteza comună imediat după salt este:

• a) $4,0m/s$
• b) $2,7m/s$
• c) $3,5m/s$
• d) $6,0m/s$

Rezolvare.

1. Sistemul om–cărucior este izolat pe orizontală. Cu sensul mișcării pozitiv, impulsul inițial este $80\cdot 5+40\cdot 2=480\mathrm{kg}m/s$.
2. După salt, cele două corpuri au aceeași viteză: $(80+40)v=480$.
3. Rezultă $v=480/120=4,0m/s$.

Valoarea b) corespunde mișcării în sensuri opuse, $(400-80)/120$, c) corespunde mediei aritmetice a vitezelor, iar d) corespunde împărțirii impulsului numai la masa omului.

Răspuns corect: a).

Greșeli frecvente

• Greșit: a conserva impulsul fiecărui corp separat în timpul unei interacțiuni.
  Corect: se conservă impulsul total al sistemului, nu al fiecărui corp.
• Greșit: a aplica legea fără verificarea impulsului forțelor externe asupra sistemului.
  Corect: legea se aplică doar dacă impulsul forțelor externe e nul sau neglijabil.
• Greșit: a aduna vitezele sau modulele impulsurilor în locul componentelor cu semn.
  Corect: se adună componentele cu semn.
• Greșit: a introduce în ecuație viteza față de corpul mobil ca și cum ar fi viteza față de sol.
  Corect: toate vitezele se exprimă față de același reper; de exemplu, viteza omului față de mal este $u+V$.

Înainte și după