Randamentul mecanic

O rampă ajută la încărcarea unei cutii grele într-un camion. Cutia nu se ridică vertical, ci se trage pe o distanță mai lungă decât înălțimea la care ajunge, cu o forță mai mică. Lucrul mecanic nu se câștigă: pe o rampă fără frecare, forța mai mică înmulțită cu drumul mai lung dă același lucru ca ridicarea directă. Pe o rampă reală există frecare, așa că pentru aceeași urcare trebuie efectuat un lucru mai mare.

Lucrul efectuat de forța pe care o aplici se numește lucru consumat, $L_c$. Lucrul care mărește înălțimea cutiei, adică $mgh$, este lucrul util, $L_u$. Randamentul este raportul lor:

Randamentul nu are unitate de măsură și se exprimă adesea în procente. Deoarece $L_u<L_c$ la orice mașină reală, randamentul este mai mic decât $100\%$. Diferența dintre lucrul consumat și cel util nu dispare: este lucrul împotriva frecării, care încălzește rampa și cutia. La fel se întâmplă la lanțul și la rulmenții unei biciclete sau la axul unui scripete: o parte din lucrul consumat încălzește piesele în contact. Motorul unui lift consumă și el mai mult lucru decât are nevoie ridicarea cabinei și a pasagerilor. Randamentul se poate calcula și din puteri, $\eta =P_u/P_c$, dacă ele se referă la același proces.

Exemplu rezolvat. O cutie de $40\mathrm{kg}$ este urcată uniform pe o rampă lungă de $4\mathrm{m}$, care ajunge la înălțimea de $1\mathrm{m}$. Forța de tracțiune, paralelă cu rampa, este $125\mathrm{N}$; $g=10N/kg$. Aflăm randamentul.

1. Lucrul util este $L_u=mgh=40\cdot 10\cdot 1=400\mathrm{J}$.
2. Lucrul consumat este $L_c=F\cdot l=125\mathrm{N}\cdot 4\mathrm{m}=500\mathrm{J}$.
3. Randamentul este $\eta =400/500=0,8=80\%$.

Cei $100\mathrm{J}$ rămași sunt lucrul forței de frecare, $25\mathrm{N}$ pe $4\mathrm{m}$. Fără frecare, cutia ar fi urcată cu o forță de $mgh/l=100\mathrm{N}$.

Dacă un calcul dă un randament peste $100\%$, verifică ce ai numit „util” și ce ai numit „consumat” și dacă ambele lucruri se referă la același proces și sunt în jouli.

Randamentul unui sistem care funcționează între două stări este $\eta =L_u/L_c=E_u/E_c$, iar pentru funcționare continuă $\eta =P_u/P_c$. Principiul conservării energiei impune $E_u\le E_c$, deci $0<\eta \le 1$; valoarea $\eta =1$ este limita unui model fără pierderi. Energia consumată mai cuprinde pierderile, $E_c=E_u+E_{\mathrm{pierdut}\breve{\mathrm{a}}}$, iar pierderile se regăsesc ca energie internă a corpurilor și a mediului. Randamentul se definește întotdeauna pentru un proces precizat: alegi sistemul, apoi spui ce este util (de exemplu creșterea energiei potențiale a sarcinii) și ce este consumat (energia primită de la sursă). Același motor are randamente diferite dacă numești util lucruri diferite. În practică, pierderile apar prin frecare, încălzirea conductoarelor și radiație, iar randamentul se exprimă adesea în procente, înmulțind raportul cu $100$.

Un plan înclinat fără frecare nu economisește lucru: forța necesară, $F=mg\sin \alpha$, este mai mică decât greutatea, dar drumul $d=h/\sin \alpha$ este mai lung, iar produsul $Fd=mgh$ este egal cu lucrul ridicării directe. Planul schimbă forța și drumul, nu lucrul.

Pentru urcarea uniformă a unui corp pe un plan înclinat de unghi $\alpha$, cu frecare la alunecare și cu tracțiune paralelă cu planul, lucrul util este $mgd\sin \alpha$, iar forța de tracțiune este $F=mg(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )$. Rezultă

Formula presupune mișcare uniformă, deci energia cinetică a corpului nu variază. Dacă sarcina ar fi accelerată, sporul de energie cinetică s-ar adăuga la cel de energie potențială în lucrul util. Randamentul nu depinde de masă și de lungimea planului. De exemplu, la $\alpha =30^{\circ }$ și $\mu =0,10$ se obține $\eta =1/(1+0,10\sqrt{3})\approx 0,85$. Crește odată cu unghiul și scade odată cu coeficientul de frecare: pentru $\mu =0$ este $1$, iar pentru un plan aproape orizontal tinde spre $0$, fiindcă aproape tot lucrul se consumă împotriva frecării. Când două mașini lucrează în serie, ieșirea primeia este intrarea celei de-a doua, deci randamentul total este produsul $\eta ={\eta }_1{\eta }_2$.

Exemplu rezolvat 1. Un colet de $50\mathrm{kg}$ este tras uniform pe o rampă de $6\mathrm{m}$, înclinată la $45^{\circ }$, cu $\mu =0,25$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm randamentul rampei.

1. Înălțimea atinsă este $h=d\sin 45^{\circ }\approx 4,243\mathrm{m}$, deci $L_u=mgh\approx 500\cdot 4,243\approx 2121\mathrm{J}$.
2. Forța de tracțiune este $F=mg(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )=500\cdot 0,707\cdot 1,25\approx 442\mathrm{N}$.
3. Lucrul consumat este $L_c=Fd=442\cdot 6\approx 2652\mathrm{J}$.
4. Randamentul este $\eta =2121/2652\approx 0,80$.

Verificare cu formula: $1/(1+0,25\cdot \mathrm{ctg}45^{\circ })=1/1,25=0,80=80\%$. Diferența dintre lucrul consumat și cel util, de aproximativ $530\mathrm{J}$, este lucrul împotriva frecării: $\mu mg\cos 45^{\circ }\cdot d=0,25\cdot 354\cdot 6\approx 530\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 2. Un motor electric cu randamentul $0,90$ acționează un troliu cu randamentul $0,80$, care ridică o sarcină de $600\mathrm{kg}$ la $5\mathrm{m}$. Aflăm energia electrică consumată.

1. Lucrul util este $L_u=mgh=600\cdot 10\cdot 5=30000\mathrm{J}$.
2. Randamentul total este $\eta =0,90\cdot 0,80=0,72$.
3. Energia consumată este $E_c=L_u/\eta =30000/0,72\approx 41700\mathrm{J}$.

Din cei $41,7\mathrm{kJ}$ consumați, motorul pierde $4,2\mathrm{kJ}$ și îi transmite troliului $37,5\mathrm{kJ}$; troliul pierde la rândul lui $7,5\mathrm{kJ}$ și păstrează $30\mathrm{kJ}$ pentru ridicare. Pierderile totale sunt $41,7-30\approx 11,7\mathrm{kJ}$.

Cerințele obișnuite sunt randamentul unui plan înclinat cu frecare, randamentul unui motor sau al unui troliu din puteri sau din energii și randamentul total al unui lanț de mașini. Se folosesc $\eta =L_u/L_c=P_u/P_c$, $\eta =1/(1+\mu \mathrm{ctg}\alpha )$ și $\eta ={\eta }_1{\eta }_2$. Atenție la ce se numește util: la un plan înclinat este $mgh$, nu lucrul întregii forțe de tracțiune. Dacă tracțiunea nu este paralelă cu planul, formula cu $\mu \mathrm{ctg}\alpha$ nu se aplică și se calculează separat $L_c=Fd\cos \beta$.

Randamentul unui sistem real este un număr subunitar, deci un rezultat peste $1$ arată că raportul a fost inversat. Alte erori frecvente sunt partea pierdută luată drept parte utilă, constanta $g$ omisă și lucrul util calculat cu lungimea planului în loc de înălțime. Tot aici se verifică și unitățile: puterea utilă și puterea consumată se exprimă în aceeași unitate, iar timpul sau viteza date în $km/h$ se transformă în $m/s$.

Exemplu în formatul examenului. Un motor primește o putere de $5\mathrm{kW}$ și ridică uniform o sarcină de $400\mathrm{kg}$ cu viteza de $0,9m/s$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Randamentul motorului este:

• a) $7,2\%$
• b) $28\%$
• c) $72\%$
• d) $139\%$

Rezolvare.

1. Puterea utilă este $P_u=mgv=400\cdot 10\cdot 0,9=3600\mathrm{W}$.
2. Puterea consumată este $P_c=5000\mathrm{W}$.
3. Randamentul este $\eta =P_u/P_c=3600/5000=0,72=72\%$.

Răspunsul a) lipsește pe $g$ din puterea utilă, b) este partea pierdută, $1-\eta$, iar d) este raportul inversat, $5000/3600$.

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: inversarea raportului dintre lucrul util și cel consumat.
  Corect: $\eta =L_{\mathrm{util}}/L_{\mathrm{consumat}}\le 1$.
• Greșit: a trata diferența de energie ca „energie dispărută”.
  Corect: diferența se transformă în energie internă, adică încălzire a corpurilor în contact și a mediului.
• Greșit: a include în lucrul util tot lucrul forței de tracțiune.
  Corect: lucrul util este doar cel care produce efectul dorit, de exemplu $mgh$ la ridicare.
• Greșit: a calcula randamentul a două mașini în serie ca medie aritmetică.
  Corect: randamentul total este produsul ${\eta }_1{\eta }_2$; pentru $0,90$ și $0,80$ rezultă $0,72$, nu $0,85$.

Înainte și după