Conservarea energiei mecanice

O minge lăsată să cadă pornește de sus cu energie potențială gravitațională și câștigă energie cinetică pe măsură ce prinde viteză. Dacă neglijăm frecarea și rezistența aerului, suma $E_c+E_p$ rămâne constantă: energia mecanică se conservă. Energia potențială se transformă în energie cinetică, fără ca energia mecanică totală să se schimbe în acest model.

Același lucru se vede la un leagăn sau la un pendul. La capătul ridicat al mișcării, viteza este mică și energia potențială este mare. La partea de jos, viteza este mare și energia cinetică este mare. Mișcarea reală se stinge treptat, pentru că aerul și frecarea de la punctul de sprijin transferă energie către alte forme, precum încălzirea. Energia totală nu dispare.

Energia mecanică se conservă când asupra corpului lucrează numai forțe ca greutatea sau forța elastică a unui resort. Frecarea și rezistența aerului sunt de alt fel: ele fac lucru negativ și transformă energia mecanică în energie internă, adică în căldură. Atunci energia mecanică finală este mai mică decât cea inițială cu exact valoarea lucrului acestor forțe.

Pentru un corp care pornește din repaus de la înălțimea $h$ și cade fără frecare, $mgh=m{v}^2/2$ la sol, deci $v=\sqrt{2gh}$. Viteza nu depinde de masă. Pe un traseu cu urcușuri și coborâșuri dintr-un parc de distracții, un vagon fără motor nu poate urca niciodată mai sus decât înălțimea de pe care a pornit, pentru că energia lui mecanică nu crește. Pe un tobogan aspru, copilul ajunge jos mai încet decât pe unul lucios, pentru că frecarea consumă o parte din energie.

Exemplu rezolvat. O minge de $0,2\mathrm{kg}$ este lăsată să cadă de la $1,8\mathrm{m}$ înălțime; $g=10N/kg$. Aflăm viteza la sol, apoi energia transformată în căldură, dacă mingea ar ajunge cu doar $5m/s$.

1. Energia potențială inițială este $E_p=mgh=0,2\cdot 10\cdot 1,8=3,6\mathrm{J}$.
2. Fără frecare, toată energia devine cinetică: $m{v}^2/2=3,6\mathrm{J}$, deci $v^2=36$ și $v=6m/s$.
3. Cu viteza reală de $5m/s$, $E_c=0,2\cdot 25/2=2,5\mathrm{J}$, iar diferența $3,6-2,5=1,1\mathrm{J}$ s-a transformat în căldură.

Rezistența aerului și frecarea au transformat $1,1\mathrm{J}$ din energia mecanică în energie internă.

Energia mecanică se scrie $E_m=E_c+E_{p,g}+E_{p,e}$ pentru sistemul ales. O forță este conservativă dacă lucrul ei între două puncte nu depinde de traiectorie, ci numai de poziții, deci pe un traseu închis lucrul ei este zero; lucrul unei astfel de forțe este $L_{\mathrm{cons}}=-\Delta E_p$. Greutatea în câmp uniform și forța elastică sunt conservative. Frecarea la alunecare, rezistența aerului și forța de tracțiune a unui motor sunt neconservative.

Teorema variației energiei cinetice dă $\Delta E_c=L_{\mathrm{cons}}+L_{\mathrm{nc}}$. Cu $L_{\mathrm{cons}}=-\Delta E_p$ rezultă $\Delta E_c+\Delta E_p=L_{\mathrm{nc}}$, adică teorema variației energiei mecanice:

Când $L_{\mathrm{nc}}=0$, energia mecanică se conservă. Forța normală a unei suprafețe fixe și tensiunea dintr-un fir care ține un pendul sunt perpendiculare pe deplasare, deci nu efectuează lucru și nu schimbă $E_m$. Frecarea are $L_{\mathrm{nc}}<0$, iar energia pierdută din $E_m$ apare ca energie internă, $Q=|L_{\mathrm{nc}}|$; energia totală, incluzând-o pe cea internă, se conservă.

Alegerea sistemului decide ce forțe sunt interne. Pentru sistemul corp–Pământ, greutatea este o forță internă și intră în bilanț prin $E_{p,g}$; dacă sistemul este numai corpul, greutatea este o forță externă și apare ca lucru. Cele două descrieri dau același rezultat, dar nu se folosesc împreună pentru aceeași forță.

Metoda energetică este utilă mai ales când nu interesează timpul și nici forma traseului. Pe un jgheab curb, calculul vitezei cu legile mișcării ar cere forțele din fiecare punct, în timp ce bilanțul energetic cere doar starea inițială și starea finală. Dacă problema cere și o forță sau un interval de timp, bilanțul energetic nu mai este suficient și se completează cu legile dinamicii.

O consecință: un corp care coboară cu diferența de nivel $\Delta h$, fără frecare, ajunge cu $v=\sqrt{2g\Delta h}$, indiferent de masă și de forma traseului. Dacă în sistem există și un resort, bilanțul conține și $E_{p,e}=k{x}^2/2$: un corp lansat de un resort pe un plan orizontal fără frecare pleacă cu viteza dată de $\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{v}^2$, iar viteza este proporțională cu deformarea inițială.

Exemplu rezolvat 1. Un pendul are firul lung de $1,2\mathrm{m}$ și bila este lăsată liberă din poziția în care firul face $60^{\circ }$ cu verticala; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm viteza bilei în poziția cea mai de jos.

1. Înălțimea punctului de plecare deasupra celui mai de jos este $h=\ell (1-\cos 60^{\circ })=1,2\cdot 0,5=0,6\mathrm{m}$.
2. Alegem nivelul de referință în poziția cea mai de jos: acolo $E_p=0$, iar la plecare $E_c=0$, pentru că bila este lăsată liberă. Tensiunea din fir nu efectuează lucru, deci $E_m$ se conservă: $mgh=m{v}^2/2$.
3. $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,6}=\sqrt{12}\approx 3,5m/s$.

Rezultatul nu depinde de masa bilei.

Exemplu rezolvat 2. Un bloc de $2\mathrm{kg}$ alunecă din repaus pe un plan înclinat la $30^{\circ }$, de la înălțimea de $3\mathrm{m}$, și ajunge la baza planului cu $6m/s$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm lucrul frecării și modulul forței de frecare.

1. Energia mecanică inițială, față de baza planului, este $E_{m,i}=mgh=2\cdot 10\cdot 3=60\mathrm{J}$.
2. Energia mecanică finală este $E_{m,f}=m{v}^2/2=2\cdot 36/2=36\mathrm{J}$.
3. Din $\Delta E_m=L_f$ rezultă $L_f=36-60=-24\mathrm{J}$.
4. Lungimea planului este $d=h/\sin 30^{\circ }=6\mathrm{m}$, deci $F_f=24/6=4\mathrm{N}$.

Energia internă produsă este $24\mathrm{J}$, adică $40\%$ din energia potențială inițială.

Verificare: forța de frecare de $4\mathrm{N}$ este mai mică decât componenta greutății de-a lungul planului, $mg\sin 30^{\circ }=10\mathrm{N}$, deci blocul accelerează. Accelerația este $a=(10-4)/2=3m/{\mathrm{s}}^2$, iar pe $6\mathrm{m}$ viteza ar fi $\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=6m/s$, ca în enunț.

La examen apar pendulul și bila pe un jgheab, blocul lansat pe o suprafață cu zone cu și fără frecare, resortul care lansează un corp și planul înclinat cu frecare. Bilanțul se scrie $E_{m,i}+L_{\mathrm{nc}}=E_{m,f}$, iar fără frecare $v=\sqrt{2g\Delta h}$; energia transformată în căldură este $Q=|L_{\mathrm{nc}}|$.

Dacă enunțul spune că frecările se neglijează, energia mecanică este constantă; dacă dă viteza reală sau înălțimea atinsă, diferența dintre energiile mecanice măsoară lucrul forțelor neconservative. Se verifică trei lucruri: lucrul neconservativ al frecării este negativ, drumul pe care acționează frecarea se numără integral (și la urcare, și la coborâre), iar nivelul de referință este același în ambele stări.

Exemplu în formatul examenului. O bilă de $0,2\mathrm{kg}$ este lansată vertical în sus cu $12m/s$ și atinge înălțimea maximă de $6\mathrm{m}$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Forța medie de rezistență a aerului la urcare are modulul:

• a) $2,4\mathrm{N}$
• b) $2,0\mathrm{N}$
• c) $0,2\mathrm{N}$
• d) $0,4\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Energia mecanică la lansare, față de punctul de lansare, este $E_{m,i}=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 12^2=14,4\mathrm{J}$.
2. La înălțimea maximă, viteza este zero și $E_{m,f}=mgh=0,2\cdot 10\cdot 6=12\mathrm{J}$.
3. $L_{\mathrm{nc}}=E_{m,f}-E_{m,i}=12-14,4=-2,4\mathrm{J}$.
4. Din $L_{\mathrm{nc}}=-F_{\mathrm{r}}\cdot h$ rezultă $F_{\mathrm{r}}=2,4/6=0,4\mathrm{N}$.

Rezultatul c) împarte energia pierdută la $12\mathrm{m}$, adică la drumul dus-întors, b) este greutatea $mg=2\mathrm{N}$ luată drept rezistență, iar a) este energia pierdută, care nu a fost împărțită la distanță.

Verificare de ordin de mărime: forța de $0,4\mathrm{N}$ este mult mai mică decât greutatea bilei, $2\mathrm{N}$, ceea ce este plauzibil pentru o bilă mică la viteze moderate.

Răspuns corect: d).

Greșeli frecvente

• Greșit: a aplica $E_{m,i}=E_{m,f}$ când frecarea face lucru nenul.
  Corect: cu frecare, $E_{m,f}=E_{m,i}+L_{\mathrm{fr}}$, unde $L_{\mathrm{fr}}<0$.
• Greșit: a confunda conservarea energiei totale cu conservarea energiei mecanice.
  Corect: energia totală se conservă întotdeauna; energia mecanică doar dacă forțele neconservative nu efectuează lucru.
• Greșit: a aduna energii potențiale măsurate față de niveluri de referință schimbate între cele două stări.
  Corect: folosește același nivel de referință în ambele stări.
• Greșit: a considera că tensiunea din firul unui pendul scade energia mecanică.
  Corect: tensiunea este perpendiculară pe deplasare, deci lucrul ei este zero și energia mecanică rămâne constantă.

Înainte și după