Puterea mecanică

Doi elevi urcă pe rând același sac de nisip pe aceeași schelă. Lucrul mecanic împotriva greutății este același, indiferent cât durează urcarea, dar elevul care termină mai repede lucrează cu o putere mai mare. Puterea mecanică arată cât de repede se efectuează un lucru mecanic.

Puterea medie este lucrul mecanic împărțit la durata în care a fost efectuat: $P=L/t$. Unitatea ei este wattul: $1\mathrm{W}=1J/s$. Se folosește și kilowattul: $1\mathrm{kW}=1000\mathrm{W}$. Un aparat de $100\mathrm{W}$ nu „conține” $100\mathrm{J}$: dacă funcționează o secundă la această putere, efectuează un lucru de $100\mathrm{J}$. Un elev de $50\mathrm{kg}$ care urcă $4\mathrm{m}$ de scări în $8\mathrm{s}$ efectuează un lucru de $2000\mathrm{J}$ și dezvoltă o putere medie de $250\mathrm{W}$.

Dacă un corp se mișcă uniform sub acțiunea unei forțe constante, orientate în sensul mișcării, lucrul pe distanța $d$ este $L=F\cdot d$, iar distanța este $d=v\cdot t$. Rezultă $P=F\cdot v$: la aceeași putere, forța este mai mică atunci când viteza este mai mare. De aceea un biciclist care urcă o pantă abruptă merge mai încet decât pe drum plat, deși pedalează cu aceeași putere.

Puterea mai mare nu înseamnă lucru mai mare. Un motor mic poate efectua același lucru ca unul mare, dar într-un timp mai lung. Pentru comparație trebuie cunoscute atât lucrul, cât și durata. Puterea medie pe un drum și puterea la un moment dat pot fi diferite: dacă forța de tracțiune a unui automobil care demarează rămâne constantă, viteza crește, deci și puterea crește odată cu ea.

Exemplu rezolvat. O macara ridică uniform o grindă de $400\mathrm{kg}$ la înălțimea de $15\mathrm{m}$, în $30\mathrm{s}$; $g=10N/kg$. Aflăm puterea medie a forței de ridicare.

1. Forța de ridicare este egală cu greutatea grinzii: $F=mg=400\cdot 10=4000\mathrm{N}$.
2. Lucrul forței este $L=F\cdot d=4000\mathrm{N}\cdot 15\mathrm{m}=60000\mathrm{J}$.
3. Puterea medie este $P=L/t=60000\mathrm{J}/30\mathrm{s}=2000\mathrm{W}=2\mathrm{kW}$.

Verificare cu $P=F\cdot v$: viteza de urcare este $15/30=0,5m/s$, iar $4000\cdot 0,5=2000\mathrm{W}$.

O macara mai puternică ridică aceeași sarcină la aceeași înălțime în mai puțin timp, deoarece efectuează același lucru mecanic mai repede.

Puterea medie pe un interval $\Delta t$ este $P_{\mathrm{med}}=\Delta L/\Delta t$. Puterea instantanee este puterea medie pe un interval atât de scurt încât viteza se poate considera constantă. Pe un asemenea interval, deplasarea este $\Delta d=v\Delta t$, iar lucrul forței constante este $\Delta L=F\Delta d\cos \alpha$. Rezultă $P=Fv\cos \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre forță și viteza punctului de aplicație. Pentru o forță paralelă cu viteza, $P=Fv$; pentru o forță perpendiculară pe viteză, $P=0$. Puterea este rata cu care o forță transferă energie corpului: este pozitivă pentru o forță care accelerează corpul și negativă pentru una care îl frânează.

Pe graficul $P(t)$, aria de sub curbă este lucrul efectuat în intervalul respectiv. Un motor care funcționează la putere constantă $P$ dezvoltă o forță $F=P/v$: la viteză mică forța de tracțiune este mare, iar la viteză mare este mică. Pentru un vehicul care se mișcă uniform, forța de tracțiune este egală cu forța totală de rezistență, deci $P=F_{\mathrm{rez}}v$. De aceea, la aceeași putere a motorului, treapta mică a cutiei de viteze dă forță mare la viteză mică (demaraj, urcarea unei pante), iar treapta mare dă viteză mare la forță mică.

La ridicarea uniformă a unei sarcini, forța utilă este egală cu greutatea, deci $P_{\mathrm{util}}=mgv$: un lift de $800\mathrm{kg}$ care urcă cu $1,5m/s$ are puterea utilă $800\cdot 10\cdot 1,5=12\mathrm{kW}$. Pentru un corp care pornește din repaus sub acțiunea unei forțe constante în sensul mișcării, viteza crește liniar în timp, deci și puterea instantanee crește liniar, iar puterea medie este jumătate din puterea finală: $P_{\mathrm{med}}=\frac{1}{2}F{v}_f$.

Pe lângă watt, se folosesc megawattul, $1\mathrm{MW}=10^6\mathrm{W}$, și kilowatt-ora, $1\mathrm{kWh}=3,6\cdot 10^6\mathrm{J}$, care este o unitate de lucru, nu de putere. Ca ordine de mărime, motorul unui automobil dezvoltă zeci de kilowați, iar o turbină eoliană mare, megawați.

Exemplu rezolvat 1. Un automobil se mișcă uniform pe un drum orizontal cu viteza de $72km/h$, iar forța totală de rezistență are modulul $800\mathrm{N}$. Aflăm puterea dezvoltată de motor și lucrul efectuat în $10$ minute.

1. Exprimăm viteza în metri pe secundă: $v=72km/h=20m/s$.
2. Mișcarea fiind uniformă, forța de tracțiune este $F=800\mathrm{N}$.
3. Puterea este $P=Fv=800\cdot 20=16000\mathrm{W}=16\mathrm{kW}$.
4. În $t=600\mathrm{s}$, lucrul este $L=Pt=16000\cdot 600=9,6\cdot 10^6\mathrm{J}$.

Lucrul de $9,6\mathrm{MJ}$ corespunde la $9,6/3,6\approx 2,67\mathrm{kWh}$.

Exemplu rezolvat 2. O sanie se mișcă orizontal cu viteza constantă de $1,5m/s$, trasă cu o forță de $80\mathrm{N}$ care face unghiul de $30^{\circ }$ cu direcția mișcării. Aflăm puterea forței de tracțiune.

1. Unghiul dintre forță și viteză este $\alpha =30^{\circ }$, iar $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$.
2. Componenta utilă a forței este $F\cos \alpha =80\cdot 0,866\approx 69,3\mathrm{N}$.
3. Puterea este $P=Fv\cos \alpha =69,3\cdot 1,5\approx 104\mathrm{W}$.

Componenta verticală a forței, $80\sin 30^{\circ }=40\mathrm{N}$, este perpendiculară pe viteză și nu contribuie la putere.

Examenul pornește de la $P_{\mathrm{med}}=L/\Delta t$, $P=Fv\cos \alpha$ și $P=\Delta E/\Delta t$, unde $\Delta E$ este energia transferată în intervalul $\Delta t$. Problemele cer puterea unui motor care ține o viteză constantă contra rezistențelor, puterea necesară pentru ridicarea unei sarcini ($P=mgv$) sau viteza maximă atinsă la o putere dată, când $F_{\mathrm{rez}}$ este cunoscută. La ridicarea uniformă pe un plan înclinat, forța utilă este componenta greutății de-a lungul planului, nu greutatea întreagă. Pe grafice $P(t)$ se cere lucrul ca arie de sub curbă.

Trei verificări previn erorile obișnuite. Viteza dată în $km/h$ se împarte la $3,6$ înainte de înmulțire. Când forța este oblică, în formulă apare $\cos \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre forță și viteză. Dacă enunțul spune „putere consumată” sau „putere primită”, valoarea este mai mare decât puterea utilă, iar raportul lor este randamentul.

Exemplu în formatul examenului. Un tractor trage uniform o remorcă cu o forță de $4\mathrm{kN}$, care face $60^{\circ }$ cu direcția mișcării, cu viteza de $36km/h$. Puterea dezvoltată de forța de tracțiune este:

• a) $20\mathrm{kW}$
• b) $34,6\mathrm{kW}$
• c) $40\mathrm{kW}$
• d) $72\mathrm{kW}$

Rezolvare.

1. Trecem datele în unități SI: $F=4000\mathrm{N}$ și $v=36/3,6=10m/s$.
2. Unghiul dintre forță și viteză este $60^{\circ }$, deci $\cos 60^{\circ }=0,5$.
3. $P=Fv\cos \alpha =4000\cdot 10\cdot 0,5=20000\mathrm{W}=20\mathrm{kW}$.

Rezultatul b) corespunde lui $\sin 60^{\circ }$ în loc de $\cos 60^{\circ }$, c) corespunde omiterii lui $\cos \alpha$, iar d) corespunde vitezei lăsate în $km/h$.

Răspuns corect: a).

Greșeli frecvente

• Greșit: confundarea lucrului în jouli cu puterea în wați.
  Corect: lucrul mecanic arată energia transferată, iar puterea arată rata transferului, în wați ($1\mathrm{W}=1J/s$).
• Greșit: folosirea lui $P=Fv$ pentru o forță oblică fără factorul $\cos \alpha$.
  Corect: pentru o forță oblică, $P=Fv\cos \alpha$.
• Greșit: a compara puteri fără a distinge puterea utilă de cea primită de aparat.
  Corect: compară puterile utile între ele; puterea primită este mai mare din cauza pierderilor.
• Greșit: kilowatt-ora este o unitate de putere.
  Corect: $1\mathrm{kWh}=3,6\cdot 10^6\mathrm{J}$ este o unitate de lucru; puterea se măsoară în $\mathrm{W}$ sau $\mathrm{kW}$.

Înainte și după