Energia potențială elastică

Comprimarea sau întinderea unui resort printr-o forță exterioară necesită lucru mecanic. O parte din energia transferată se stochează în sistem ca energie potențială elastică și este restituită la revenirea spre forma inițială. Modelul simplu al resortului este valabil în domeniul elastic liniar, adică atât timp cât forța crește proporțional cu deformarea.

Energia elastică este legată de deformare, nu de poziția resortului în cameră. Pentru resortul cu lungimea lui naturală, convenim că energia elastică este zero. Dacă îl întinzi sau îl comprimi, energia crește. Pentru un resort ideal în domeniul în care se aplică legea lui Hooke, $E_{p,e}=k{x}^2/2$, unde $k$ este constanta elastică și $x$ deformarea față de lungimea naturală.

De exemplu, dacă $k=100N/m$ și îl întinzi cu $0,10\mathrm{m}$, energia este $100N/m\cdot (0,10\mathrm{m}{)}^2/2=0,50\mathrm{J}$. Dacă dublezi deformarea în domeniul elastic, energia devine de patru ori mai mare, deoarece deformarea este la pătrat. Forța elastică, în schimb, își dublează doar modulul, fiindcă este proporțională cu deformarea.

Peste limita de elasticitate, resortul rămâne deformat sau se rupe, iar formula nu mai descrie situația. De aceea formula $k{x}^2/2$ se aplică numai deformărilor din domeniul elastic.

În modelul liniar, forța elastică este $F_e=-kx$, unde axa are originea în poziția de lungime naturală, iar $x$ este pozitiv la alungire și negativ la comprimare. Modulul forței este $F=k|x|$, iar constanta $k$, în $N/m$, depinde de material și de forma resortului. Pentru a deforma resortul lent, de la $0$ la $x$, forța exterioară are la fiecare moment modulul $k|x^{\prime }|$. Lucrul ei este aria triunghiului de sub graficul forței: $\frac{1}{2}\cdot k|x|\cdot |x|=\frac{1}{2}k{x}^2$. Acest lucru se stochează ca energie potențială, deci, cu $E_{p,e}(0)=0\mathrm{J}$, rezultă $E_{p,e}(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$.

Energia are aceeași valoare pentru o comprimare și pentru o alungire de același modul, deși forța are sensuri opuse; ea nu este niciodată negativă. Lucrul forței elastice între două deformări este $L_e=-\Delta E_{p,e}=\frac{1}{2}k(x_i^2-x_f^2)$. Energia elastică se mai scrie $E_{p,e}=\frac{1}{2}Fx$, adică jumătate din produsul dintre forța finală și deformare, fiindcă forța a crescut de la zero. Dimensional, $N/m\cdot {\mathrm{m}}^2=\mathrm{N}\mathrm{m}=\mathrm{J}$.

Graficul energiei în funcție de deformare este o parabolă cu vârful în origine, simetrică față de axa energiei. Minimul ei corespunde lungimii naturale a resortului, unde forța elastică este nulă, iar orice deformare, într-un sens sau în altul, ridică energia stocată.

La comprimare ($x<0$), forța $F_e=-kx$ este pozitivă: resortul împinge corpul spre exterior. Lucrul forței elastice este negativ când $|x|$ crește, fiindcă forța se opune deplasării capătului, și pozitiv când $|x|$ scade. Sub aceeași forță aplicată, un resort cu $k$ mai mic se deformează mai mult și stochează mai multă energie: $E_{p,e}=F^2/(2k)$.

Relația $F_e=-kx$ este valabilă numai până la limita de elasticitate a resortului. Ca ordin de mărime, un resort cu $k=2000N/m$ comprimat cu $10\mathrm{cm}$ stochează $\frac{1}{2}\cdot 2000\cdot 0,10^2=10\mathrm{J}$, cât energia potențială gravitațională a unui corp de $1\mathrm{kg}$ ridicat cu $1\mathrm{m}$. La un corp legat de un resort pe o suprafață fără frecare, suma $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$ rămâne constantă: energia elastică este maximă la deformarea maximă, unde viteza este zero, și este zero la lungimea naturală, unde viteza este maximă.

Exemplu rezolvat 1. Un resort cu $k=500N/m$ este comprimat de la $2\mathrm{cm}$ la $6\mathrm{cm}$. Aflăm lucrul necesar pentru comprimarea suplimentară.

1. Deformările în metri: $x_i=0,02\mathrm{m}$ și $x_f=0,06\mathrm{m}$.
2. Energiile sunt $E_i=\frac{1}{2}\cdot 500\cdot 0,02^2=0,1\mathrm{J}$ și $E_f=\frac{1}{2}\cdot 500\cdot 0,06^2=0,9\mathrm{J}$.
3. Lucrul forței exterioare, efectuat lent, este $E_f-E_i=0,8\mathrm{J}$.

Verificare cu forțele: la $2\mathrm{cm}$ forța este $10\mathrm{N}$, iar la $6\mathrm{cm}$ este $30\mathrm{N}$; forța medie este $20\mathrm{N}$, iar $20\cdot 0,04=0,8\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 2. Un resort cu $k=800N/m$, comprimat cu $6\mathrm{cm}$, lansează pe un plan orizontal fără frecare o bilă de $20\mathrm{g}$. Aflăm viteza bilei la desprinderea de resort.

1. Energia elastică inițială este $E_{p,e}=\frac{1}{2}\cdot 800\cdot 0,06^2=1,44\mathrm{J}$.
2. La desprindere, resortul are lungimea naturală, deci toată energia este cinetică: $\frac{1}{2}m{v}^2=1,44\mathrm{J}$.
3. Rezultă $v=\sqrt{2\cdot 1,44/0,02}=\sqrt{144}=12m/s$.

Dacă deformarea ar fi fost dublă, viteza ar fi fost dublă și ea, de $24m/s$, pentru că energia crește cu $x^2$, iar viteza cu $\sqrt{E}$.

Cerințele obișnuite sunt energia stocată într-un resort pus în diverse situații: la capătul unui bloc lansat pe o suprafață cu frecare, suspendat vertical de un corp, tăiat în părți egale sau grupat cu alt resort. Rezolvările folosesc $E_{p,e}=k{x}^2/2$, $L_e=\frac{1}{2}k(x_i^2-x_f^2)$ și, la echilibrul unui corp suspendat, $k\Delta \ell =mg$. De exemplu, un corp de $0,5\mathrm{kg}$ agățat de un resort cu $k=250N/m$ alungește resortul cu $\Delta \ell =mg/k=0,02\mathrm{m}$, iar energia elastică este $0,05\mathrm{J}$. Un resort de constantă $k$ tăiat în două părți egale dă resorturi cu constanta $2k$ fiecare. Când enunțul dă forța și deformarea, constanta se află din $k=F/x$, iar energia se scrie direct $E_{p,e}=Fx/2$. La un corp suspendat, atenție la referință: alungirea $\Delta \ell$ de la echilibru se măsoară față de lungimea naturală, iar energia elastică se calculează numai cu deformarea față de lungimea naturală, nu față de poziția în care corpul stă în repaus.

Trei greșeli se repetă la rezolvare: factorul $\frac{1}{2}$ uitat, lungimea totală a resortului folosită în locul deformării și deformările date în $\mathrm{cm}$ ridicate la pătrat fără să fie transformate în metri.

Exemplu în formatul examenului. Un resort cu $k=400N/m$ este comprimat de la $3\mathrm{cm}$ la $5\mathrm{cm}$. Variația energiei potențiale elastice a resortului este:

• a) $0,64\mathrm{J}$
• b) $3200\mathrm{J}$
• c) $0,32\mathrm{J}$
• d) $0,08\mathrm{J}$

Rezolvare.

1. Exprimăm deformările în metri: $x_i=0,03\mathrm{m}$ și $x_f=0,05\mathrm{m}$.
2. $\Delta E_{p,e}=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)=\frac{1}{2}\cdot 400\cdot (0,0025-0,0009)\mathrm{J}$.
3. $\Delta E_{p,e}=200\cdot 0,0016=0,32\mathrm{J}$.

Valoarea d) vine din $\frac{1}{2}k(x_f-x_i{)}^2$, a) vine din calculul fără factorul $\frac{1}{2}$, iar b) vine din deformările lăsate în $\mathrm{cm}$.

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: omiterea factorului $1/2$ din energia resortului ideal.
  Corect: $E_{p,e}=k{x}^2/2$.
• Greșit: folosirea lungimii totale a resortului în locul deformării $x$.
  Corect: $x$ este deformarea, $x=\ell -{\ell }_0$, nu lungimea totală.
• Greșit: a confunda energia elastică în $\mathrm{J}$ cu forța elastică în $\mathrm{N}$.
  Corect: energia se măsoară în $\mathrm{J}$, iar forța elastică $F=kx$ în $\mathrm{N}$.
• Greșit: la comprimare energia elastică este negativă.
  Corect: $k{x}^2/2\ge 0$ atât la alungire, cât și la comprimare; semnul $x$ nu contează, fiindcă $x$ este la pătrat.

Înainte și după