Spațiul fazelor și atractorii

Ca să descrii unde se află un obiect și ce face, poziția nu este întotdeauna suficientă. Un pendul aflat în punctul de jos poate merge spre stânga sau spre dreapta. Trebuie să cunoști și viteza. Spațiul fazelor este un mod de a pune într-un singur desen mărimile necesare pentru a descrie starea sistemului.

Pentru un obiect care se mișcă pe o linie, poți folosi un grafic cu poziția pe axa orizontală și viteza pe axa verticală. Fiecare punct din grafic este o stare posibilă: spune simultan unde este obiectul și cum se deplasează. Pe măsură ce trece timpul, punctul desenează un traseu numit traiectorie în spațiul fazelor. Acesta nu este drumul obiectului prin cameră; este drumul stărilor lui pe grafic.

Un pendul ideal care oscilează periodic poate descrie o curbă închisă în acest spațiu. Dacă există frecare, oscilațiile slăbesc, iar traseul se poate apropia de o stare de repaus. O stare sau o mulțime de stări spre care tind traseele apropiate se numește atractor. Nu orice sistem are un atractor de același fel: un punct de repaus, un ciclu repetat și un atractor cu structură complicată sunt exemple diferite.

Acest mod de a desena ajută la compararea mișcărilor care par asemănătoare într-o fotografie. Două obiecte în aceeași poziție, dar cu viteze diferite, apar în puncte diferite ale spațiului fazelor. Așa poți vedea mai clar ce informație lipsește pentru o predicție.

Starea unui oscilator cu un grad de libertate este determinată de două mărimi, elongația $y$ și viteza $v$. Spațiul fazelor este planul cu axele $y$ (orizontală) și $v$ (verticală): fiecare stare este un punct, iar evoluția în timp este o curbă, traiectoria de fază. Dacă forțele nu depind explicit de timp, printr-un punct al planului trece o singură traiectorie, pentru că starea de acum determină complet starea de mai târziu. Două traiectorii de fază nu se intersectează, deoarece punctul de intersecție ar avea două evoluții posibile.

La oscilatorul armonic ideal, $y=A\sin (\omega t+{\phi }_0)$ și $v=\omega A\cos (\omega t+{\phi }_0)$. Eliminând timpul, rezultă elipsa

cu semiaxele $A$ și $\omega A$. Elipsa se parcurge în sensul acelor de ceasornic: în semiplanul de sus $v>0$, deci $y$ crește și punctul se deplasează spre dreapta, iar în semiplanul de jos se deplasează spre stânga. Fiecare valoare a energiei $E=m{\omega }^2{A}^2/2$ corespunde unei elipse; elipsele de energii diferite sunt concentrice.

La oscilatorul amortizat, amplitudinea scade cu același factor la fiecare perioadă, deci traiectoria este o spirală care se strânge în jurul originii. Punctul $y=0$, $v=0$ este un atractor: mulțimea de stări spre care tind traiectoriile vecine. Mulțimea stărilor inițiale care duc spre un atractor este bazinul lui de atracție. Pendulul unui ceas cu greutăți, în care mecanismul compensează pierderile, ajunge după un timp pe aceeași curbă închisă, oricare ar fi starea inițială. O astfel de curbă este un ciclu limită. Atractorii sistemelor haotice au o structură mult mai complicată și o geometrie fractală; ei sunt tratați în lecțiile „Haos determinist” și „Geometrie fractală”.

La pendulul cu tijă rigidă, de lungime $\ell$, spațiul fazelor este mai bogat. Pentru energii mai mici decât $2mg\ell$ (față de poziția cea mai joasă), traiectoriile sunt curbe închise: pendulul oscilează. Pentru energii mai mari, pendulul se rotește, iar curbele sunt deschise. Curba care le separă, trecând prin poziția verticală de sus, este separatoarea.

Exemplu rezolvat 1. Un corp cu $m=0,20\mathrm{kg}$ oscilează cu $\omega =15rad/s$ și amplitudinea $A=0,20\mathrm{m}$. Se cer semiaxele traiectoriei de fază, stările în care $y=0,12\mathrm{m}$ și energia.

1. Semiaxele sunt $A=0,20\mathrm{m}$ pe axa $y$ și $\omega A=15\cdot 0,20=3,0m/s$ pe axa $v$.
2. Pentru $y=0,12\mathrm{m}$: $v=\pm \omega \sqrt{A^2-y^2}=\pm 15\sqrt{0,20^2-0,12^2}=\pm 15\cdot 0,16=\pm 2,4m/s$.
3. Energia este $E=m{\omega }^2{A}^2/2=0,20\cdot 15^2\cdot 0,20^2/2=0,90\mathrm{J}$.

La aceeași poziție $y=0,12\mathrm{m}$ există două stări distincte, $(0,12;+2,4)$ și $(0,12;-2,4)$, cu sensuri opuse ale mișcării. Verificare: cu $k=m{\omega }^2=45N/m$, $E_p=k{y}^2/2=0,324\mathrm{J}$ și $E_c=m{v}^2/2=0,576\mathrm{J}$, deci $E=0,90\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 2. Un pendul cu tijă ușoară rigidă, cu $\ell =1,0\mathrm{m}$ și $m=0,20\mathrm{kg}$, primește în poziția cea mai joasă viteza $v_0$. Pentru $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$, când oscilează și când se rotește?

1. Energia separatoarei este $E_s=2mg\ell =2\cdot 0,20\cdot 9,8\cdot 1,0=3,92\mathrm{J}$. Viteza corespunzătoare în punctul cel mai de jos este $v_s=2\sqrt{g\ell }\approx 6,26m/s$.
2. Pentru $v_0=5,0m/s$: $E=m{v}_0^2/2=2,5\mathrm{J}<E_s$, deci pendulul oscilează, pe o curbă închisă. Unghiul maxim rezultă din $\cos {\theta }_m=1-v_0^2/(2g\ell )\approx -0,28$, adică ${\theta }_m\approx 106^{\circ }$.
3. Pentru $v_0=7,0m/s$: $E=4,9\mathrm{J}>E_s$, deci pendulul se rotește; în punctul de sus viteza lui este $\sqrt{v_0^2-4g\ell }\approx 3,1m/s$.

Același pendul are două tipuri de mișcare, iar graficul de fază le arată dintr-o privire.

Greșeli frecvente

• Greșit: graficul $y$–$v$ este drumul obiectului.
  Corect: este drumul stărilor lui în planul fazelor.
• Greșit: aceeași poziție înseamnă aceeași stare.
  Corect: starea cere și viteza; la aceeași poziție, viteza are două sensuri posibile.
• Greșit: orice curbă închisă este un atractor.
  Corect: este atractor numai dacă traiectoriile vecine se apropie de ea; elipsele oscilatorului armonic ideal nu atrag, pentru că fiecare păstrează energia ei.
• Greșit: două traiectorii de fază ale unui sistem determinist se pot intersecta.
  Corect: nu se intersectează, deoarece o stare are o singură evoluție.

Înainte și după