Haos determinist

Un sistem este determinist dacă starea lui de acum și regulile de evoluție stabilesc starea următoare. Te-ai putea aștepta ca un astfel de sistem să fie mereu ușor de prezis. Nu este așa. În unele sisteme, diferențe foarte mici între stările inițiale cresc mult în timp. Acest comportament se numește haos determinist.

În anumite regimuri ale unui pendul dublu, două mișcări pornite din stări foarte apropiate pot ajunge la evoluții foarte diferite. Legile mișcării continuă să fie valabile; dificultatea predicției vine din faptul că starea inițială nu poate fi măsurată cu precizie infinită. O incertitudine mică la început se poate amplifica și poate limita predicțiile pe termen lung.

Haosul nu înseamnă „orice se poate întâmpla”. Sistemul rămâne constrâns de legile sale și de condițiile în care se află. De asemenea, o mișcare complicată nu este automat haotică: trebuie arătată sensibilitatea la condițiile inițiale. Unele sisteme au mișcări regulate, precum o oscilație care se repetă; altele pot alterna între comportări regulate și haotice când se schimbă un parametru.

Fizicienii folosesc grafice, simulări și măsurători repetate pentru a vedea aceste diferențe. Dacă două trasee pornesc foarte aproape și se despart rapid, predictibilitatea se pierde după un anumit orizont practic. Întrebarea utilă nu este numai „care este formula?”, ci și „cât de precis cunosc începutul și pe ce durată vreau să prezic?”.

Un sistem este determinist dacă ecuațiile lui de evoluție și starea inițială stabilesc fără ambiguitate toate stările următoare: aceeași stare inițială dă mereu aceeași evoluție. Un sistem determinist este haotic dacă îndeplinește simultan trei condiții: ecuațiile lui sunt neliniare, evoluția rămâne într-o regiune mărginită, fără să devină periodică, și două stări inițiale foarte apropiate se depărtează rapid una de alta. Haosul determinist nu este zgomot aleator: nu intervine nicio mărime întâmplătoare, iar imprevizibilitatea provine numai din faptul că starea inițială se cunoaște cu o precizie finită.

Un model simplu, care se poate calcula cu un calculator de buzunar, este aplicația logistică:

Comportarea ei depinde de parametrul $r$. Pentru $r=2,8$ șirul converge spre valoarea fixă $0,643$. Pentru $r=3,2$ șirul alternează între $0,7995$ și $0,5130$, adică are perioada $2$. Pentru $r=3,5$ se repetă ciclul de patru valori $0,3828$; $0,8269$; $0,5009$; $0,8750$. Pentru $r=3,9$ și pentru $r=4$ șirul nu se mai repetă și este haotic.

Separarea a două traiectorii vecine, în regim haotic, crește aproximativ exponențial: $\delta (t)={\delta }_0{e}^{\lambda t}$. Mărimea $\lambda >0$ este exponentul Lyapunov maxim. Formula este valabilă cât timp separarea rămâne mică față de dimensiunea regiunii accesibile; apoi se oprește, pentru că traiectoriile rămân mărginite. Dacă eroarea tolerată pentru predicție este $\Delta$, iar eroarea inițială este ${\delta }_0$, orizontul de predictibilitate este

Dependența logaritmică are o consecință practică: dacă măsori starea inițială de $1000$ de ori mai precis, orizontul crește numai cu $\ln 1000/\lambda$, nu de $1000$ de ori. Sistemele care se comportă așa sunt pendulul dublu, pendulul forțat în anumite regimuri și atmosfera. În 1963, meteorologul E. N. Lorenz a arătat că un model al atmosferei cu trei variabile de stare este sensibil la condițiile inițiale. Din acest motiv, limita de predictibilitate a vremii este de ordinul a două săptămâni, oricât de precise ar fi măsurătorile.

Exemplu rezolvat 1. Se iterează aplicația logistică cu $r=4$ pornind din două valori inițiale foarte apropiate, $x_0=0,3000$ și $y_0=0,3001$. Cum evoluează diferența dintre ele?

1. Prima iterație dă $x_1=4\cdot 0,3000\cdot 0,7000=0,8400$ și $y_1\approx 0,8402$, deci diferența este $0,0002$.
2. La $n=4$: $x_4=0,0225$ și $y_4=0,0220$, cu diferența $0,0005$.
3. La $n=8$: $x_8=0,4476$ și $y_8=0,4755$, cu diferența $0,028$.
4. La $n=12$: $x_{12}=0,5542$ și $y_{12}=0,1465$, cu diferența $0,41$.

Diferența inițială de $10^{-4}$ s-a multiplicat cu aproximativ $4100\approx 2^{12}$: se dublează în medie la fiecare iterație, deci exponentul Lyapunov al acestei aplicații este $\ln 2$ pe iterație. După $12$ iterații, cele două șiruri nu mai au nimic comun.

Exemplu rezolvat 2. Într-un sistem haotic, $\lambda =0,50{\mathrm{s}}^{-1}$. Starea inițială se măsoară cu eroarea ${\delta }_0=10^{-6}$, iar predicția este utilă cât timp eroarea rămâne sub $\Delta =1$ (în aceleași unități). Cât durează predicția? Cât câștigi dacă măsurătoarea devine de $1000$ de ori mai precisă?

1. Orizontul este $t_p=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{\Delta }{{\delta }_0}=\frac{\ln 10^6}{0,50}\approx 27,6\mathrm{s}$.
2. Cu ${\delta }_0=10^{-9}$: $t_p=\ln 10^9/0,50\approx 41,4\mathrm{s}$.
3. Câștigul este $41,4-27,6=13,8\mathrm{s}=\ln 1000/\lambda$.

O precizie de o mie de ori mai bună adaugă doar jumătate din durata inițială, nu de o mie de ori mai mult.

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda „determinist” cu „perfect predictibil pe orice durată”.
  Corect: un sistem determinist poate fi imprevizibil pe termen lung dacă este sensibil la condițiile inițiale.
• Greșit: a crede că haosul înseamnă absența legilor sau zgomot aleator.
  Corect: un sistem haotic respectă ecuații exacte; aceeași stare inițială dă mereu aceeași evoluție.
• Greșit: a numi haotică orice mișcare neregulată, fără a testa sensibilitatea la condițiile inițiale.
  Corect: o mișcare este haotică numai dacă două traiectorii vecine se depărtează exponențial.
• Greșit: a crede că o măsurătoare mai precisă a stării inițiale rezolvă problema predicției.
  Corect: orizontul de predictibilitate crește doar logaritmic cu precizia.

Înainte și după