Geometrie fractală

Un fractal este o formă sau o mulțime matematică ce prezintă structură la scări succesiv mai mici. Unele părți reproduc forma întregului, proprietate numită autosimilaritate. Fractalii pot fi generați prin iterarea unei reguli. Curba lui Koch, de exemplu, se construiește înlocuind la fiecare pas treimea centrală a fiecărui segment cu două laturi ale unui triunghi echilateral.

În viața de zi cu zi găsești forme care amintesc de fractali, precum ramificarea unui copac sau conturul neregulat al unui nor. Ele nu sunt copii matematice perfecte la orice scară: ramurile se opresc la o anumită mărime, iar materia are structură finită. Asemănarea este utilă pentru a descrie și compara modele de forme, fără a pretinde o repetare infinită în natură.

În geometria obișnuită, o linie are o dimensiune, iar o suprafață are două. Unii fractali au o dimensiune fractală între aceste valori. Ea descrie cât de repede crește detaliul vizibil când privești forma la o scară mai fină. Nu înseamnă că obiectul există într-un spațiu cu „o dimensiune și jumătate” în sensul unei camere reale.

Fractalii apar și în studiul unor sisteme dinamice. Un atractor poate avea o structură fractală; aceasta arată geometria mulțimii de stări spre care tinde sistemul. Totuși, nu orice fractal este un atractor și nu orice figură frumoasă, cu ramuri, dovedește existența haosului.

Un fractal este o mulțime care are detaliu la orice scară de observare și a cărei dimensiune fractală este mai mare decât dimensiunea ei obișnuită (topologică). La fractalii construiți prin iterație, de exemplu curba lui Koch sau triunghiul lui Sierpinski, autosimilaritatea este exactă: fiecare parte este o copie micșorată a întregului. La obiectele naturale ea este statistică și există numai între două scări, una mare și una mică.

Dacă o formă se compune din $N$ copii ale ei, fiecare micșorată de $s$ ori, dimensiunea de autosimilaritate $D$ este definită prin $N=s^D$, adică

Pentru un segment, micșorat de $s$ ori, $N=s$ și $D=1$. Pentru un pătrat, $N=s^2$ și $D=2$. Pentru un cub, $N=s^3$ și $D=3$. Curba lui Koch se compune din $N=4$ copii micșorate de $s=3$ ori, deci $D=\ln 4/\ln 3\approx 1,26$. Triunghiul lui Sierpinski, obținut prin scoaterea repetată a triunghiului din mijloc, are $N=3$ și $s=2$, deci $D=\ln 3/\ln 2\approx 1,58$: aria lui tinde la zero, dar el este mai mult decât o curbă. Mulțimea lui Cantor, obținută prin eliminarea repetată a treimii din mijloc a fiecărui segment rămas, are $N=2$, $s=3$ și $D\approx 0,63$.

La curba lui Koch, fiecare segment este înlocuit la fiecare pas cu $4$ segmente de lungime $1/3$ din a lui. După $n$ pași sunt $4^n$ segmente, fiecare de lungime $L_0/3^n$, deci lungimea totală este $L_n=L_0(4/3{)}^n$ și crește fără limită, deși curba rămâne într-o regiune mărginită.

Pentru un obiect real, dimensiunea se măsoară prin numărarea cutiilor: se acoperă forma cu pătrate de latură $\epsilon$ și se numără câte pătrate, $N(\epsilon )$, conțin o parte din ea. Pentru un fractal, $N(\epsilon )\propto {\epsilon }^{-D}$, deci $D$ este panta dreptei din graficul $\lg N$ în funcție de $\lg (1/\epsilon )$. Lungimea măsurată cu o riglă de lungime $\epsilon$ este $L(\epsilon )=N\epsilon \propto {\epsilon }^{1-D}$ și crește când rigla se micșorează. Coasta de vest a Marii Britanii are $D\approx 1,25$. Ramificarea bronhiilor și a râurilor, conturul unui nor și frunza de ferigă au forme apropiate de cele fractale. Atractorii sistemelor haotice sunt fractali: atractorul Lorenz are dimensiunea de circa $2,06$.

Exemplu rezolvat 1. Se construiește curba lui Koch pornind de la un segment cu $L_0=27\mathrm{cm}$. Se cer lungimile după primii pași, primul pas la care lungimea depășește $1\mathrm{m}$ și dimensiunea fractală.

1. După primul pas sunt $4$ segmente de câte $27/3=9\mathrm{cm}$, deci $L_1=36\mathrm{cm}$.
2. După al doilea pas sunt $16$ segmente de câte $3\mathrm{cm}$, deci $L_2=48\mathrm{cm}$; după al treilea sunt $64$ de segmente de câte $1\mathrm{cm}$, deci $L_3=64\mathrm{cm}$.
3. Lungimea depășește $100\mathrm{cm}$ când $(4/3{)}^n>100/27$, adică $n>\ln (100/27)/\ln (4/3)\approx 4,55$. Primul pas este $n=5$, cu $L_5=27(4/3{)}^5\approx 113,8\mathrm{cm}$.
4. Dimensiunea este $D=\ln 4/\ln 3\approx 1,26$.

Lungimea crește cu factorul $4/3$ la fiecare pas, deci nu are limită superioară, pe când dimensiunea fractală rămâne aceeași.

Exemplu rezolvat 2. Un contur de coastă este măsurat, pe o hartă, cu riglele $\epsilon =8\mathrm{km}$, $4\mathrm{km}$ și $2\mathrm{km}$. Numărul de pași ai riglei este $25$, $63$ și, respectiv, $159$. Se cer lungimile măsurate și dimensiunea fractală.

1. Lungimile sunt $L=N\epsilon$: $25\cdot 8=200\mathrm{km}$; $63\cdot 4=252\mathrm{km}$; $159\cdot 2=318\mathrm{km}$.
2. Când rigla se înjumătățește, numărul de pași se înmulțește cu $2^D$. Rezultă $D=\ln (63/25)/\ln 2\approx 1,33$ și $D=\ln (159/63)/\ln 2\approx 1,34$.
3. Valoarea fractală este $D\approx 1,33$, între $1$ (curbă netedă) și $2$ (suprafață).

Lungimea coastei nu este o mărime unică: ea crește când rigla se micșorează. De la rigla de $8\mathrm{km}$ la cea de $2\mathrm{km}$ lungimea a crescut de $318/200\approx 1,6$ ori, adică $4^{D-1}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: a considera că orice formă neregulată este automat un fractal.
  Corect: un fractal are structură la scări din ce în ce mai mici și autosimilaritate; neregularitatea singură nu ajunge.
• Greșit: a atribui autosimilaritate perfectă și infinită obiectelor naturale.
  Corect: în natură autosimilaritatea este statistică și limitată la un interval de scări.
• Greșit: a confunda dimensiunea fractală cu o lungime măsurată în metri.
  Corect: dimensiunea fractală este un număr fără unitate, de exemplu $1,26$ pentru curba lui Koch.
• Greșit: a spune că dimensiunea curbei lui Koch este $1$, pentru că este o curbă.
  Corect: dimensiunea topologică este $1$, dar dimensiunea fractală este $\ln 4/\ln 3\approx 1,26$.

Înainte și după