Dinamica pe plan înclinat

O rampă te ajută să urci o ladă la o înălțime fără să o ridici direct pe verticală. Planul înclinat este o suprafață dreaptă, înclinată față de orizontală, caracterizată de lungimea $l$ și de înălțimea $h$ până la care urcă. Pe rampă, lada este tot atrasă în jos de Pământ, dar greutatea nu mai este paralelă cu suprafața. Efectul ei se împarte în două: o componentă de-a lungul rampei, în jos, care tinde să o facă să alunece, și o componentă perpendiculară pe rampă, care o apasă pe suprafață. Rampa răspunde prin reacțiunea normală, perpendiculară pe ea.

Triunghiurile asemenea care se formează pe desen arată că, la fiecare metru de lungime a rampei, componenta greutății de-a lungul planului este aceeași fracțiune din greutate: $G_t=G\cdot \frac{h}{l}$. O rampă lungă și lină are raportul $h/l$ mic, deci componenta este mică și lada se urcă ușor. O rampă scurtă și abruptă are $h/l$ mare și cere o forță mare. Pe aceeași idee funcționează serpentinele de munte, scările cu trepte joase, șurubul sau toboganul din parc, unde alunecarea este rapidă pe porțiunea cea mai înclinată.

Fără frecare, forța paralelă cu planul care ține corpul în repaus sau îl urcă uniform este egală cu $G_t$. Rampa dă un câștig de forță, dar cu pierdere de drum: forța e mai mică, însă drumul parcurs e mai lung. Lucrul mecanic nu se câștigă: $F\cdot l=G\cdot h$. Frecarea schimbă situația: la urcare ea acționează în josul rampei și forța necesară crește; la coborâre acționează în susul rampei și corpul alunecă mai încet.

Exemplu rezolvat. Un butoi cu masa de $60\mathrm{kg}$ este urcat uniform pe o rampă cu lungimea $l=3\mathrm{m}$ și înălțimea $h=1\mathrm{m}$, fără frecare. Se iau $g=10N/kg$. Cu ce forță paralelă cu rampa trebuie împins?

1. Greutatea butoiului este $G=m\cdot g=60\cdot 10=600\mathrm{N}$.
2. Raportul înălțime–lungime este $h/l=1/3$.
3. Forța de-a lungul rampei este $F=G\cdot h/l=600\cdot \frac{1}{3}=200\mathrm{N}$.

Ridicat direct pe verticală, butoiul ar cere $600\mathrm{N}$, deci rampa reduce forța de trei ori, dar drumul parcurs este de trei ori mai lung. Lucrul mecanic este același: $200\cdot 3=600\cdot 1=600\mathrm{J}$.

Pentru un plan care face unghiul $\alpha$ cu orizontala, $\sin \alpha =h/l$. Alegem axa $Ox$ de-a lungul planului, orientată în jos în sensul alunecării, și axa $Oy$ perpendiculară pe plan. Greutatea $mg$ are componentele $G_x=mg\sin \alpha$ (de-a lungul planului) și $G_y=mg\cos \alpha$ (perpendicular pe plan, spre plan). Pe direcția $Oy$ nu există accelerație, deci $N=mg\cos \alpha$, dacă nu mai acționează alte forțe perpendiculare pe plan.

Fără frecare, singura forță de-a lungul planului este $mg\sin \alpha$, deci accelerația corpului lăsat liber este $a=g\sin \alpha$, orientată în josul planului și independentă de masă. La $\alpha =30^{\circ }$, accelerația este jumătate din $g$, adică $5m/{\mathrm{s}}^2$. Cazuri-limită: pentru $\alpha =0^{\circ }$, $a=0$ și planul este orizontal; pentru $\alpha =90^{\circ }$, $a=g$ și corpul cade liber.

Cu frecare, forța $F_f=\mu N=\mu mg\cos \alpha$ se opune mișcării relative. Dacă corpul coboară, ecuația este $ma=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha$, deci $a=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )$. Dacă urcă în urma unei lansări, frecarea și componenta greutății au același sens, în josul planului, iar încetinirea are modulul $a=g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )$. Din condiția $a>0$ la coborâre rezultă că un corp inițial în repaus alunecă numai dacă $\mathrm{tg}\alpha >{\mu }_s$; dacă $\mathrm{tg}\alpha \le {\mu }_s$, frecarea statică îl menține în repaus. Pentru a urca uniform, forța paralelă cu planul trebuie să fie $F=mg(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )$.

Când corpul alunecă uniform, $a=0$ și $\sin \alpha =\mu \cos \alpha$, deci $\mu =\mathrm{tg}\alpha$: unghiul la care un corp, împins ușor, continuă să alunece cu viteză constantă dă coeficientul de frecare la alunecare. Altfel, mișcarea pe plan are accelerația constantă $a$, deci durata coborârii pe lungimea $l$ este $t=\sqrt{2l/a}$, iar viteza la bază este $v=\sqrt{2al}$. Cu cât planul este mai înclinat, cu atât $a$ crește și $t$ scade. Dacă asupra corpului acționează și o tracțiune $F$ paralelă cu planul, în sus, ecuația devine $ma=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha -F$.

Exemplu rezolvat 1. Un bloc este eliberat din repaus în vârful unui plan înclinat fără frecare, cu lungimea $l=3\mathrm{m}$ și înălțimea $h=1,2\mathrm{m}$. Se cer accelerația și viteza la baza planului, pentru $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Sinusul unghiului este $\sin \alpha =h/l=1,2/3=0,4$.
2. Accelerația este $a=g\sin \alpha =10\cdot 0,4=4m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Viteza la baza planului rezultă din $v^2=2al$, deci $v=\sqrt{2\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{24}\approx 4,9m/s$.

Același rezultat se obține din $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{24}$: viteza depinde numai de înălțime, nu de lungimea planului.

Exemplu rezolvat 2. Un corp cu masa de $2\mathrm{kg}$ se află pe un plan înclinat la $30^{\circ }$, cu coeficientul de frecare $\mu =0,2$. Se cer accelerația la coborâre și forța paralelă cu planul necesară pentru urcarea uniformă, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Normala este $N=mg\cos 30^{\circ }=20\cdot 0,866\approx 17,3\mathrm{N}$, iar frecarea este $F_f=0,2\cdot 17,3\approx 3,46\mathrm{N}$.
2. La coborâre, $a=g(\sin 30^{\circ }-\mu \cos 30^{\circ })=10\cdot (0,5-0,173)\approx 3,27m/{\mathrm{s}}^2$.
3. La urcarea uniformă, frecarea este orientată în josul planului: $F=mg\sin 30^{\circ }+F_f=10+3,46\approx 13,5\mathrm{N}$.

Fără frecare, forța de urcare ar fi fost $10\mathrm{N}$, deci frecarea o mărește cu aproape $35\%$.

Problemele cer determinarea accelerației sau a coeficientului de frecare, distanța parcursă la urcare și condiția de echilibru. Pașii sunt: se desenează forțele (greutate, normală, frecare, eventual tracțiune), se alege axa de-a lungul planului în sensul mișcării, se proiectează și se scrie $\sum F_x=ma$. La o lansare în sus, corpul urcă până la oprire pe distanța $d=v_0^2/(2a)$, cu $a=g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )$; coborârea de după oprire are loc numai dacă $\mathrm{tg}\alpha >{\mu }_s$. Pentru un corp pe plan, legat prin fir și scripete de un corp atârnat, se scrie câte o ecuație pentru fiecare corp, cu aceeași accelerație.

Se folosesc frecvent valorile $\sin 37^{\circ }=0,6$ și $\cos 37^{\circ }=0,8$, la care $\mathrm{tg}37^{\circ }=0,75$, precum și $\sin 30^{\circ }=0,5$ și $\cos 30^{\circ }\approx 0,87$.

Exemplu în formatul examenului. Un corp este lansat în sus, de-a lungul unui plan înclinat cu $\sin \alpha =0,6$ și $\cos \alpha =0,8$, cu viteza inițială de $10m/s$. Coeficientul de frecare la alunecare este $\mu =0,5$, iar $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Distanța parcursă pe plan până la oprire este:

• a) $8,3\mathrm{m}$
• b) $25\mathrm{m}$
• c) $5\mathrm{m}$
• d) $4,5\mathrm{m}$

Rezolvare.

1. La urcare, componenta greutății și frecarea acționează amândouă în josul planului: $ma=mg\sin \alpha +\mu mg\cos \alpha$.
2. Calculăm: $a=g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )=10\cdot (0,6+0,5\cdot 0,8)=10m/{\mathrm{s}}^2$, ca modul al încetinirii.
3. Din $v^2=v_0^2-2ad$ cu $v=0$ rezultă $d=v_0^2/(2a)=100/20=5\mathrm{m}$.
4. Varianta a) neglijează frecarea ($a=6m/{\mathrm{s}}^2$), varianta b) scade frecarea în loc să o adune ($a=2m/{\mathrm{s}}^2$), iar varianta d) inversează sinusul cu cosinusul ($a=11m/{\mathrm{s}}^2$).

Răspuns corect: c)

Greșeli frecvente

• Greșit: $N=mg$ și pe plan înclinat.
  Corect: $N=mg\cos \alpha$, dacă nu există alte forțe perpendiculare pe plan.
• Greșit: a inversa componentele greutății.
  Corect: de-a lungul planului acționează $mg\sin \alpha$, iar perpendicular pe plan $mg\cos \alpha$.
• Greșit: frecarea este întotdeauna orientată în susul planului.
  Corect: frecarea se opune mișcării; la urcare este orientată în josul planului.
• Greșit: un corp care alunecă fără frecare pe plan înclinat se mișcă cu atât mai încet cu cât are masa mai mare.
  Corect: $a=g\sin \alpha$ nu depinde de masă.

Înainte și după