Principiul inerției

Un cărucior împins pe podea se oprește după câțiva metri. Pare că orice corp se oprește singur, dar cauza este frecarea cu podeaua. Galileo Galilei a observat că o bilă lăsată să coboare pe un plan înclinat și apoi să urce pe altul se ridică aproape la aceeași înălțime, cu atât mai aproape cu cât suprafețele sunt mai netede. A tras concluzia că, fără frecare, bila ar continua să se miște la nesfârșit în linie dreaptă, cu viteză constantă. Această proprietate a corpurilor de a-și păstra starea de repaus sau de mișcare se numește inerție.

Principiul inerției afirmă: un corp își păstrează starea de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra lui nu acționează alte corpuri sau acțiunile lor se compensează. Mișcarea rectilinie uniformă înseamnă linie dreaptă și viteză constantă, atât ca valoare, cât și ca direcție. „Acțiunile se compensează” nu înseamnă că forțele lipsesc: o carte pe masă este atrasă în jos de Pământ și împinsă în sus de masă cu forțe egale ca valoare, iar cartea rămâne în repaus. Pentru a schimba viteza unui corp este nevoie de o forță nebalansată; pentru a o menține nu este nevoie de niciuna.

Inerția explică multe lucruri din jurul tău. Când autobuzul frânează brusc, pasagerii se apleacă înainte, pentru că trupul lor continuă să se miște cu viteza de dinainte. Când autobuzul pornește, ei se lasă pe spătar, deoarece trupul tinde să rămână în repaus. Fața de masă trasă brusc de sub un pahar lasă paharul pe loc. Un ciocan se fixează pe coadă lovind coada de o suprafață dură: coada se oprește, iar capul ciocanului își continuă mișcarea și se strânge pe ea. Centura de siguranță oprește pasagerul prin forța pe care i-o exercită.

Masa este măsura inerției: cu cât masa unui corp este mai mare, cu atât viteza lui se schimbă mai greu sub acțiunea aceleiași forțe. Un camion încărcat se oprește mai greu decât unul gol, la aceeași viteză.

Exemplu rezolvat. Un tren de marfă merge pe o porțiune dreaptă cu viteza constantă de $54km/h$. Locomotiva exercită o forță de tracțiune de $40\mathrm{kN}$. Care este valoarea forțelor de rezistență și ce distanță parcurge trenul în două minute?

1. Viteza este constantă, deci forțele se compensează: forța de rezistență are valoarea $40\mathrm{kN}$, egală cu tracțiunea și de sens opus.
2. Transformăm viteza: $54km/h=54:3,6=15m/s$, iar $2\min =120\mathrm{s}$.
3. Distanța este $d=v\cdot t=15\cdot 120=1800\mathrm{m}$.

Trenul se mișcă uniform fără ca tracțiunea să fie mai mare decât rezistența.

Principiul inerției are sens într-un reper inerțial, adică într-un reper în care un corp asupra căruia acționează forțe cu rezultanta nulă este în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă. Formularea este: dacă $\sum \vec{F}=\vec{0}$, atunci $\vec{a}=\vec{0}$, iar viteza $\vec{v}$ rămâne constantă ca modul, direcție și sens. Repausul este cazul particular $\vec{v}=\vec{0}$. Reciproca este valabilă: o mișcare rectilinie uniformă arată că rezultanta forțelor este nulă, nu că fiecare forță în parte este nulă. Orice reper care se mișcă rectiliniu și uniform față de un reper inerțial este tot inerțial. Un reper care accelerează, de exemplu un autobuz care frânează, nu este inerțial: în el, un corp liber pare să accelereze fără ca vreun corp să acționeze asupra lui.

Pământul este, cu bună aproximație, un reper inerțial pentru experimentele de laborator. Rotația lui produce în punctele de la Ecuator o accelerație centripetă de numai ${\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, deci de circa 300 de ori mai mică decât $g$.

Masa care apare în comportarea inerțială se numește masă inerțială. Se poate defini prin interacțiune: dacă două corpuri interacționează doar între ele, accelerațiile lor au sensuri opuse, iar raportul modulelor este invers proporțional cu masele, $m_1/m_2=a_2/a_1$. Masa măsurată cu balanța, adică cea care determină atracția gravitațională, se numește masă gravitațională. Experiența arată că cele două coincid, de aceea se folosește un singur simbol, $m$. Relația cantitativă dintre rezultantă, masă și accelerație este tema lecției „Principiul fundamental al dinamicii”.

Exemplu rezolvat 1. Două cărucioare sunt legate printr-un resort comprimat și apoi eliberate. Primul are masa de $0,50\mathrm{kg}$ și accelerația inițială de $0,60m/{\mathrm{s}}^2$, iar al doilea are accelerația inițială de $0,20m/{\mathrm{s}}^2$, în sens opus. Se cere masa celui de-al doilea.

1. Cărucioarele interacționează doar între ele, deci forțele sunt egale ca modul: $m_1{a}_1=m_2{a}_2$.
2. Din relație rezultă $m_2=m_1{a}_1/a_2$.
3. Calculăm: $m_2=0,50\cdot 0,60/0,20=1,5\mathrm{kg}$.

Cărucioarele cu masă mai mare se accelerează mai puțin: al doilea, de trei ori mai masiv, are accelerația de trei ori mai mică.

Exemplu rezolvat 2. Într-un tren care merge rectiliniu uniform cu $72km/h$, un pasager aruncă o minge vertical în sus, față de tren, cu viteza de $5m/s$. Se iau $g=10m/{\mathrm{s}}^2$ și se neglijează rezistența aerului. Unde cade mingea și ce deplasare are față de șine?

1. Durata zborului este $t=2v_0/g=2\cdot 5/10=1\mathrm{s}$, iar înălțimea maximă $h=v_0^2/(2g)=25/20=1,25\mathrm{m}$.
2. Pe orizontală asupra mingii nu acționează nicio forță, deci păstrează viteza trenului: $v=72/3,6=20m/s$.
3. Față de șine, deplasarea orizontală este $x=vt=20\cdot 1=20\mathrm{m}$, iar față de tren este $0$.

Mingea cade în mâna pasagerului, dar un observator de pe peron vede o traiectorie curbă, cu o deplasare de $20\mathrm{m}$.

Principiul inerției se aplică la probleme în care viteza este constantă și ecuațiile de echilibru înlocuiesc ecuațiile de mișcare. La un corp care urcă sau coboară uniform, rezultanta este nulă: fir vertical cu $T=mg$, plan înclinat cu frecare unde $mg\sin \alpha =\mu mg\cos \alpha$, de unde $\mu =\mathrm{tg}\alpha$ la coborâre uniformă. Un lift care se mișcă cu viteză constantă, în sus sau în jos, apasă pe cântar cu aceeași forță ca un lift în repaus. Pe un grafic $v(t)$ este un segment orizontal, iar pe $x(t)$, o dreaptă.

Verifică cu atenție precizarea „viteză constantă”: ea nu spune nimic despre sensul mișcării, spune doar că $a=0$. Pentru forțe se scriu ecuații separate pe fiecare axă, iar viteza nu apare în ecuațiile de echilibru.

Exemplu în formatul examenului. Un lift cu masa de $800\mathrm{kg}$ urcă pe verticală cu viteza constantă de $2m/s$. Pentru $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, tensiunea din cablul de care este suspendat este:

• a) $1600\mathrm{N}$
• b) $8000\mathrm{N}$
• c) $9600\mathrm{N}$
• d) $6400\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Viteza este constantă, deci $a=0$ și rezultanta forțelor este nulă.
2. Pe verticală acționează tensiunea $T$ în sus și greutatea $mg$ în jos: $T-mg=0$.
3. Calculăm: $T=mg=800\cdot 10=8000\mathrm{N}$.
4. Variantele a), c) și d) înlocuiesc accelerația cu viteza: $mv=1600\mathrm{N}$, $m(g+v)=9600\mathrm{N}$ și, respectiv, $m(g-v)=6400\mathrm{N}$.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: a spune că viteza constantă cere o forță rezultantă în sensul mișcării.
  Corect: mișcarea rectilinie cu viteză constantă are rezultanta nulă.
• Greșit: a confunda „rezultanta este zero” cu „nu există forțe”.
  Corect: rezultanta nulă înseamnă că forțele se compensează; ele există, dar suma lor vectorială este zero.
• Greșit: a considera inerția o forță care împinge pasagerul înainte la frânare.
  Corect: inerția este proprietatea corpului de a-și păstra viteza; pasagerul continuă să se miște pentru că nicio forță nu îl oprește odată cu autobuzul.
• Greșit: a crede că un corp cu volum mai mare are inerție mai mare.
  Corect: inerția este măsurată de masă, nu de volum; un balon mare are inerție mică.

Înainte și după