Principiul fundamental al dinamicii

Principiul fundamental al dinamicii leagă accelerația unui corp de rezultanta forțelor și de masa sa. Pentru aceeași masă, o rezultantă mai mare produce o accelerație mai mare; pentru aceeași rezultantă, un corp cu masă mai mare are accelerație mai mică. Relația este vectorială, astfel că și direcția forței rezultante contează.

Nu este suficient să privești o singură împingere. Asupra căruciorului mai pot acționa frecarea, greutatea și sprijinul podelei. Pe direcția mișcării, împingerea îl poate accelera înainte, iar frecarea îl poate frâna. Doar efectul lor combinat, numit rezultantă, determină schimbarea vitezei. Dacă se compensează, căruciorul nu accelerează, chiar dacă două forțe sunt prezente.

Relația se scrie ${\vec{F}}_{\mathrm{rez}}=m\vec{a}$. Săgețile amintesc faptul că forța și accelerația au direcție și sens. Pentru o masă de $2\mathrm{kg}$ și o rezultantă de $6\mathrm{N}$ spre dreapta, accelerația este $3m/{\mathrm{s}}^2$ spre dreapta. Unitatea newton este definită prin $1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}m/{\mathrm{s}}^2$.

Principiul nu spune că viteza are mereu sensul forței. Un vehicul care înaintează și frânează are viteză înainte, dar accelerație și rezultantă înapoi. Privește separat mișcarea de acum și felul în care aceasta se schimbă. Această distincție te ajută să înțelegi pornirea, frânarea și virajele.

Într-un reper inerțial, pentru un corp cu masă constantă, suma vectorială a forțelor exterioare este egală cu produsul dintre masă și accelerație: $\sum \vec{F}=m\vec{a}$. Newton a scris legea sub forma $\vec{F}=\Delta \vec{p}/\Delta t$, cu impulsul $\vec{p}=m\vec{v}$; pentru $m=const.$ cele două forme coincid. Din relație rezultă că $\vec{a}$ are direcția și sensul rezultantei, iar masa este măsura inerției: la aceeași rezultantă, accelerația este invers proporțională cu masa. Dacă rezultanta este nulă, relația se reduce la principiul inerției. Conform principiului independenței acțiunii forțelor, fiecare forță produce accelerația pe care ar produce-o dacă ar acționa singură, iar accelerația corpului este suma vectorială a acestor accelerații.

Proiectăm relația pe două axe perpendiculare: $\sum F_x=m{a}_x$ și $\sum F_y=m{a}_y$. Forțele orientate în sensul pozitiv al axei au componenta pozitivă, cele opuse au componenta negativă. Pe o suprafață orizontală, dacă nu există accelerație verticală, rezultanta verticală este nulă, dar cea orizontală poate fi nenulă. O problemă se rezolvă în cinci pași: alegi corpul, desenezi numai forțele care acționează asupra lui, alegi axele (una în sensul accelerației, dacă îl cunoști), proiectezi și scrii ecuațiile, rezolvi sistemul. La un sistem de corpuri legate se scrie câte o ecuație pentru fiecare corp.

Mărimea $m\vec{a}$ nu este o forță: este rezultatul acțiunii forțelor și nu se desenează pe diagramă. Unitatea de măsură rezultă din $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$, de aceea masele se introduc în $\mathrm{kg}$ și accelerațiile în $m/{\mathrm{s}}^2$. Ordinele de mărime ajută la verificare: un autoturism ajunge de la 0 la $100km/h$ în circa $9\mathrm{s}$, cu o accelerație de câțiva $m/{\mathrm{s}}^2$, iar la frânarea de urgență accelerația are modulul de $6$–$8m/{\mathrm{s}}^2$. Cazuri-limită: pentru $m\to \infty$ accelerația tinde la zero, iar pentru $F_{\mathrm{rez}}=0$ viteza rămâne constantă.

Exemplu rezolvat 1. Un autoturism cu masa de $1200\mathrm{kg}$ ajunge de la repaus la $100km/h$ în $9\mathrm{s}$. Rezistențele la înaintare însumează $400\mathrm{N}$. Se cer rezultanta și forța de tracțiune medii.

1. Transformăm viteza: $v=100/3,6\approx 27,8m/s$.
2. Accelerația medie este $a=\Delta v/\Delta t=27,8/9\approx 3,09m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Rezultanta este $F_{\mathrm{rez}}=ma=1200\cdot 3,09\approx 3704\mathrm{N}$.
4. Tracțiunea este rezultanta plus rezistențele: $F_t=3704+400\approx 4104\mathrm{N}$.

Tracțiunea de aproximativ $4,1\mathrm{kN}$ trebuie să învingă și rezistențele, nu numai să accelereze mașina.

Exemplu rezolvat 2. Asupra unui corp cu masa de $2\mathrm{kg}$, aflat pe o masă netedă orizontală, acționează orizontal două forțe perpendiculare: $3\mathrm{N}$ spre est și $4\mathrm{N}$ spre nord. Se cer accelerația și direcția ei.

1. Rezultanta are componentele $R_x=3\mathrm{N}$ și $R_y=4\mathrm{N}$, deci $R=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{N}$.
2. Accelerația are modulul $a=R/m=5/2=2,5m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Direcția ei face cu estul unghiul $\theta$ dat de $\mathrm{tg}\theta =R_y/R_x=4/3$, deci $\theta \approx 53^{\circ }$ spre nord.

Accelerația nu este orientată după nicio forță în parte, ci după rezultantă.

Subiectele cer cel mai des mișcarea unui sistem de corpuri legate. Pentru fiecare corp se scrie $\sum F=ma$ pe axa mișcării lui, cu sensurile pozitive alese după sensul probabil al mișcării. Dacă firul este inextensibil, corpurile au accelerații egale ca modul; dacă firul și scripetele au masa neglijabilă și nu există frecare în scripete, tensiunea are aceeași valoare pe tot firul. Rezultatul final se verifică prin sensul accelerației: semnul minus arată că sensul ales a fost greșit.

Un caz important este mașina lui Atwood, cu două corpuri de mase $m_1>m_2$ pe cele două ramuri ale firului: $a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}$ și $T=\frac{2m_1{m}_{2}g}{m_1+m_2}$. Alte cazuri frecvente sunt corpul legat peste scripete de un corp aflat pe o masă și corpul din lift, unde reacțiunea normală este $N=m(g+a)$ la accelerare în sus.

Exemplu în formatul examenului. Două corpuri cu masele $m_1=3\mathrm{kg}$ și $m_2=2\mathrm{kg}$ sunt legate printr-un fir inextensibil și de masă neglijabilă, trecut peste un scripete ideal. Pentru $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, tensiunea din fir în timpul mișcării este:

• a) $20\mathrm{N}$
• b) $24\mathrm{N}$
• c) $25\mathrm{N}$
• d) $30\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Pentru corpul mai greu, orientat în jos: $m_{1}g-T=m_{1}a$. Pentru cel mai ușor, orientat în sus: $T-m_{2}g=m_{2}a$.
2. Adunăm ecuațiile: $a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}=\frac{1\cdot 10}{5}=2m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Din a doua ecuație, $T=m_2(g+a)=2\cdot 12=24\mathrm{N}$. Verificare cu prima: $T=m_1(g-a)=3\cdot 8=24\mathrm{N}$.
4. Varianta a) este greutatea corpului mai ușor, varianta d) este greutatea corpului mai greu (tensiunile ar avea aceste valori dacă sistemul ar fi în repaus, ceea ce nu se întâmplă când $m_1\ne m_2$), iar varianta c) este media celor două greutăți.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: a folosi o singură forță în $F=ma$ când asupra corpului acționează mai multe.
  Corect: în $F=ma$, $F$ este rezultanta tuturor forțelor.
• Greșit: a confunda sensul vitezei cu sensul accelerației.
  Corect: accelerația are sensul rezultantei, care poate fi opus vitezei.
• Greșit: a desena în diagrama corpului studiat forțele exercitate de acel corp asupra altora.
  Corect: în diagrama corpului intră doar forțele care acționează asupra lui.
• Greșit: a desena $m\vec{a}$ ca pe o forță în plus pe diagrama de corp.
  Corect: $m\vec{a}$ este rezultatul acțiunii forțelor, nu o forță, și nu se desenează.

Înainte și după