Legea atracției gravitaționale

Oricare două corpuri cu masă se atrag gravitațional, conform legii atracției universale a lui Newton. Aceeași interacțiune participă la căderea corpurilor și la mișcarea orbitală. Forța dintre obiectele cu mase mici este greu de observat direct, dar efectul este dominant când intervine un corp masiv, precum Pământul sau Soarele.

Atracția depinde de mase și de distanță. Dacă una dintre mase este mai mare, forța este mai mare în același aranjament. Dacă distanța crește, forța slăbește. În modelul corpurilor care pot fi tratate ca puncte, dublarea distanței dintre ele face forța de patru ori mai mică. Distanța folosită este între centrele corpurilor, nu doar spațiul gol dintre suprafețele lor.

O minge lăsată din mână este atrasă de Pământ, dar și mingea atrage Pământul cu o forță egală și opusă. Nu observăm o schimbare mare a mișcării Pământului, fiindcă masa lui este enormă. Astfel, legea gravitației se potrivește cu principiul acțiunii și reacțiunii, fără să spună că cele două corpuri se mișcă la fel.

La suprafața Pământului, greutatea se calculează simplu prin $G=mg$. Legea atracției universale explică de unde vine această forță și de ce accelerația gravitațională se schimbă când ne îndepărtăm de Pământ. În viața de zi cu zi, folosim forma simplă; pentru sateliți trebuie să ținem seama de distanță.

Legea atracției universale a lui Newton afirmă că două corpuri punctiforme de mase $m_1$ și $m_2$, aflate la distanța $r$, se atrag cu o forță al cărei modul este $F=K\frac{m_1{m}_2}{r^2}$. Forța este atractivă, orientată pe dreapta care unește corpurile și formează o pereche acțiune–reacțiune: ${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$. Constanta de proporționalitate $K=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ se numește constanta gravitațională. Ea are aceeași valoare pentru orice pereche de corpuri, oriunde în Univers, și nu depinde de natura corpurilor sau a mediului dintre ele.

Valoarea ei foarte mică explică de ce atracția dintre obiecte obișnuite nu se observă. A fost determinată experimental de Henry Cavendish în anul 1798, cu o balanță de torsiune: două sfere mici legate printr-o bară subțire și suspendate de un fir sunt atrase de două sfere mari, iar răsucirea firului măsoară forța. Din atracția dintre două persoane de câte $70\mathrm{kg}$ aflate la $1\mathrm{m}$ se obține $F=6,67\cdot 10^{-11}\cdot 70\cdot 70/1^2\approx 3,3\cdot 10^{-7}\mathrm{N}$, adică de circa $2\cdot 10^9$ ori mai puțin decât greutatea unei singure persoane.

Pentru corpuri sferice cu distribuția masei simetrică în jurul centrului, legea se aplică în exteriorul lor cu $r$ egal cu distanța dintre centre. Prin urmare, atracția exercitată de Pământ asupra unui corp de masă $m$ aflat la suprafață este $F=KMm/R^2$, iar identificarea cu greutatea $mg$ dă $g=KM/R^2$. Din această relație, cunoscând $g$, $R$ și $K$, se află masa Pământului. Forța crește proporțional cu fiecare masă și scade cu pătratul distanței: dacă distanța se dublează, forța se reduce de patru ori, iar dacă distanța se triplează, de nouă ori. Newton a arătat că aceeași lege explică și căderea mărului, și mișcarea Lunii, în același fel.

Exemplu rezolvat 1. Se cere masa Pământului, cunoscând $g=9,8N/kg$ la suprafață, raza $R=6,37\cdot 10^6\mathrm{m}$ și $K=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$.

1. Atracția gravitațională asupra unui corp de masă $m$ de la suprafață este egală cu greutatea lui: $KMm/R^2=mg$.
2. Masa $m$ se simplifică și rămâne $M=g{R}^2/K$.
3. Calculăm: $M=9,8\cdot (6,37\cdot 10^6{)}^2/(6,67\cdot 10^{-11})\approx 5,96\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$.

Rezultatul concordă cu valoarea acceptată, $5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$. Din această cauză, experimentul lui Cavendish este cunoscut drept „cântărirea Pământului”: odată ce $K$ a fost măsurată, a putut fi calculată și masa planetei.

Exemplu rezolvat 2. Se cer forța de atracție dintre Pământ și Lună și accelerația Lunii, cu $M_P=5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$, $M_L=7,35\cdot 10^{22}\mathrm{kg}$ și distanța dintre centre $r=3,84\cdot 10^8\mathrm{m}$.

1. Forța este $F=K{M}_P{M}_L/r^2=6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}\cdot 7,35\cdot 10^{22}/(3,84\cdot 10^8{)}^2\approx 1,98\cdot 10^{20}\mathrm{N}$.
2. Accelerația Lunii este $a_L=F/M_L\approx 2,7\cdot 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$, orientată spre Pământ.
3. Raportul $g/a_L\approx 3630$, adică $(r/R{)}^2$ cu $r/R\approx 60$: la distanța de 60 de raze terestre, accelerația este de $60^2$ ori mai mică decât la suprafață.

Concordanța acestui raport cu mișcarea reală a Lunii a fost verificarea pe care Newton a căutat-o pentru legea sa.

Greșeli frecvente

• Greșit: $r$ este distanța dintre suprafețele corpurilor.
  Corect: $r$ este distanța dintre centre.
• Greșit: doar corpul mare atrage corpul mic.
  Corect: forțele sunt reciproce, egale în modul și de sens opus.
• Greșit: $g$ este același la orice distanță.
  Corect: $g=KM/(R+h{)}^2$ scade cu altitudinea.
• Greșit: constanta gravitațională $K$ este diferită pe Lună și pe Pământ.
  Corect: $K$ este universală, iar valoarea lui $g$ diferă pentru că diferă masa și raza astrului.

Înainte și după