Reacțiunea normală și tensiunea în fir

O carte pusă pe masă nu cade prin masă. Suprafața o împinge în sus. Această forță de contact este reacțiunea normală: „normală” înseamnă perpendiculară pe suprafața de contact. Pe o masă orizontală, săgeata ei este în sus. Pe un plan înclinat, săgeata este perpendiculară pe plan, nu verticală. Ea apare pentru că masa și cartea se deformează foarte puțin una pe alta, iar suprafața deformată tinde să revină la forma inițială. Reacțiunea normală se notează $N$ și se măsoară în newtoni.

Un ghiveci atârnat de un fir este tras în sus de fir. Forța exercitată de un fir întins asupra corpului legat de el se numește tensiune în fir și se notează $T$. Săgeata ei este de-a lungul firului și trage corpul spre punctul de prindere; un fir flexibil nu poate împinge ghiveciul. Dacă ghiveciul stă nemișcat, tensiunea este egală cu greutatea lui, dar această egalitate este valabilă numai când corpul este în repaus sau se mișcă uniform.

Normala și tensiunea apar numai dacă există contactul potrivit: un corp sprijinit de o suprafață sau legat de un fir întins. Dacă ridici cartea de pe masă, masa nu o mai împinge. Dacă firul nu este întins, nu exercită nicio forță asupra corpului. Valoarea lor nu este fixă, ci se adaptează: masa împinge cartea mai tare când așezi alta deasupra, iar firul trage mai tare când atârni o greutate mai mare. Cântarul din baie arată forța cu care apeși pe el, adică valoarea reacțiunii normale, convertită în kilograme.

Ca să rezolvi un desen cu forțe, alege mai întâi corpul. Pentru ghiveci, desenezi greutatea în jos și tensiunea firului în sus. Pentru fir, forțele sunt altele. Nu pune pe același corp săgeata „ghiveciul trage firul” și săgeata „firul trage ghiveciul”; ele aparțin unor corpuri diferite.

Exemplu rezolvat. Un ghiveci cu masa de $3\mathrm{kg}$ atârnă nemișcat de un cârlig, prin intermediul unui fir. Se cer tensiunea din fir și forța cu care firul trage cârligul, cu $g=10N/kg$.

1. Asupra ghiveciului acționează greutatea $G=mg=3\cdot 10=30\mathrm{N}$, în jos, și tensiunea $T$, în sus.
2. Ghiveciul este în repaus, deci forțele se compensează: $T=G=30\mathrm{N}$.
3. Firul trage cârligul în jos cu aceeași valoare, $30\mathrm{N}$, potrivit principiului acțiunii și reacțiunii.

Tensiunea nu este egală cu greutatea din cauza vreunei legi speciale, ci pentru că ghiveciul nu accelerează.

Reacțiunea normală $\vec{N}$ este componenta perpendiculară pe suprafață a forței de contact exercitate de suport. Valoarea ei nu are formulă proprie: se determină din condițiile de mișcare ale corpului pe direcția perpendiculară pe suprafață. Ea poate lua orice valoare mai mare sau egală cu zero. Dacă ecuațiile dau $N=0$, corpul se desprinde de suprafață.

Pe un plan orizontal, fără alte forțe verticale și fără accelerație verticală, $N=mg$. Pe un plan înclinat cu unghiul $\alpha$, în aceleași condiții, $N=mg\cos \alpha$. Dacă asupra corpului acționează și o forță oblică $F$ în sus, care face unghiul $\alpha$ cu orizontala, $N=mg-F\sin \alpha$. Într-un lift care accelerează cu $a$ în sus, $N=m(g+a)$; cu $a$ în jos, $N=m(g-a)$. Un cântar arată valoarea lui $N$, de aceea indică alt rezultat decât $m$ când liftul accelerează.

Tensiunea $\vec{T}$ are direcția firului, iar sensul ei este de la corp spre fir. Un fir ideal este inextensibil și are masă neglijabilă; în el tensiunea are aceeași valoare în toate punctele, iar corpurile legate au accelerații egale ca modul. Un scripete ideal, fără masă și fără frecare, schimbă numai direcția firului, nu și valoarea tensiunii. Dacă firul are masă nenulă, tensiunea variază de-a lungul lui. Firul rămâne întins cât timp $T\ge 0$; un fir nu poate împinge, deci un rezultat negativ pentru $T$ arată că firul nu mai este întins. Perechile acțiune–reacțiune sunt „firul trage corpul” și „corpul trage firul”, respectiv „suportul împinge corpul” și „corpul apasă suportul”. Forța de apăsare are aceeași valoare ca $N$, dar este aplicată suportului, nu corpului.

Exemplu rezolvat 1. Un elev cu masa de $60\mathrm{kg}$ stă pe un cântar în interiorul unui lift. Se cere valoarea forței normale, deci a forței de apăsare, în trei situații, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$: liftul urcă cu viteză constantă; accelerează în sus cu $2m/{\mathrm{s}}^2$; accelerează în jos cu $2m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Cu viteză constantă, $a=0$ și $N=mg=60\cdot 10=600\mathrm{N}$.
2. La accelerarea în sus, din $N-mg=ma$ rezultă $N=m(g+a)=60\cdot 12=720\mathrm{N}$.
3. La accelerarea în jos, din $mg-N=ma$ rezultă $N=m(g-a)=60\cdot 8=480\mathrm{N}$.

Greutatea elevului, $600\mathrm{N}$, nu se schimbă; se schimbă forța normală, deci și indicația cântarului.

Exemplu rezolvat 2. Un corp cu masa $m_1=3\mathrm{kg}$ este pe o masă orizontală, cu coeficientul de frecare $0,2$, și este legat printr-un fir și un scripete ideale de un corp cu masa $m_2=2\mathrm{kg}$ atârnat. Se cer accelerația și tensiunea, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Pentru corpul atârnat: $m_{2}g-T=m_{2}a$. Pentru corpul de pe masă: $T-\mu m_{1}g=m_{1}a$.
2. Adunăm ecuațiile: $a=\frac{m_{2}g-\mu m_{1}g}{m_1+m_2}=\frac{20-6}{5}=2,8m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Din a doua ecuație, $T=\mu m_{1}g+m_{1}a=6+3\cdot 2,8=14,4\mathrm{N}$.

Tensiunea este mai mică decât greutatea corpului atârnat, $20\mathrm{N}$, pentru că acesta coboară accelerat.

Subiectele combină aceste forțe cu principiul fundamental: corpul din lift, corpul tras oblic și corpurile legate prin fire și scripeți. Pentru fiecare corp se alege axa pe direcția mișcării lui, se scrie principiul fundamental și se completează cu ecuația perpendiculară pe suprafață, care dă $N$. Se verifică la sfârșit semnele: $N\ge 0$ și $T\ge 0$. Un corp tras oblic în sus se desprinde de masă când $F\sin \alpha =mg$, adică la $N=0$. Pe un plan înclinat fără frecare, un fir paralel cu planul care ține corpul în repaus are tensiunea $T=mg\sin \alpha$, iar normala rămâne $N=mg\cos \alpha$, pentru că firul nu are componentă perpendiculară pe plan. Dacă firul este tras oblic față de plan, el modifică și valoarea normalei.

Exemplu în formatul examenului. Un bloc cu masa de $5\mathrm{kg}$ se află pe o masă orizontală și este tras de un fir care face unghiul de $30^{\circ }$ cu orizontala, în sus, cu o tensiune de $20\mathrm{N}$. Blocul rămâne pe masă. Pentru $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, forța normală exercitată de masă este:

• a) $32,7\mathrm{N}$
• b) $40\mathrm{N}$
• c) $50\mathrm{N}$
• d) $60\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Pe verticală blocul nu accelerează: $N+T\sin 30^{\circ }-mg=0$.
2. Componenta verticală a tensiunii este $T\sin 30^{\circ }=20\cdot 0,5=10\mathrm{N}$.
3. Rezultă $N=mg-T\sin 30^{\circ }=50-10=40\mathrm{N}$.
4. Varianta a) folosește $\cos 30^{\circ }$ în loc de $\sin 30^{\circ }$, varianta c) neglijează tensiunea ($N=mg$), iar varianta d) adună componenta verticală în loc să o scadă.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: a desena normala vertical în sus pe orice suprafață, inclusiv pe un plan înclinat.
  Corect: normala este perpendiculară pe suprafață.
• Greșit: a presupune că $N=mg$ sau $T=mg$ în orice problemă.
  Corect: $N$ și $T$ se calculează din ecuațiile de mișcare ale fiecărui corp.
• Greșit: a desena un fir flexibil ca și cum ar putea împinge corpul.
  Corect: firul poate numai să tragă.
• Greșit: a considera tensiunea dintr-un fir care leagă un corp ce coboară accelerat egală cu greutatea acestuia.
  Corect: $T=m(g-a)$, mai mică decât $mg$ când corpul coboară cu accelerația $a$.

Înainte și după