Greutatea

Pământul atrage toate corpurile spre el, fără să le atingă. Forța cu care Pământul atrage un corp se numește greutate și se notează $G$. Greutatea este o forță, deci se măsoară în newtoni ($\mathrm{N}$), nu în kilograme. Ea are punctul de aplicație în centrul de greutate al corpului, direcția verticală și sensul în jos, spre centrul Pământului. Un măr se desprinde din ramură și cade tocmai pentru că greutatea lui nu mai este echilibrată de nicio altă forță.

Masa și greutatea sunt mărimi diferite. Masa ($m$) arată cantitatea de substanță a corpului, se măsoară în kilograme și are aceeași valoare oriunde. Greutatea depinde de locul în care se află corpul. Legătura dintre ele este $G=m\cdot g$, unde $g$ este accelerația gravitațională. Aproape de suprafața Pământului, $g=9,8N/kg$, valoare rotunjită în probleme la $10N/kg$. Asta înseamnă că un corp cu masa de $1\mathrm{kg}$ are greutatea de aproximativ $10\mathrm{N}$, iar unul de $100\mathrm{g}$ are greutatea de aproximativ $1\mathrm{N}$.

Greutatea este direct proporțională cu masa: dacă atârni pe rând de un dinamometru corpuri de $100\mathrm{g}$, $200\mathrm{g}$ și $300\mathrm{g}$, dinamometrul arată aproximativ $1\mathrm{N}$, $2\mathrm{N}$ și $3\mathrm{N}$, iar raportul $G/m$ rămâne același, $10N/kg$. Dinamometrul măsoară greutatea corpului atârnat de el, pentru că resortul se întinde până când forța lui elastică echilibrează greutatea.

Pe Lună, atracția gravitațională este mai mică, $g_{\mathrm{L}}=1,6N/kg$, deci și greutatea aceluiași corp este mai mică, dar masa lui nu se schimbă. De aceea un astronaut sare pe Lună mult mai sus decât pe Pământ. Greutatea nu dispare când corpul este susținut: o carte așezată pe masă nu cade, deoarece masa o împinge în sus cu o forță egală cu greutatea ei, dar greutatea există în continuare.

Exemplu rezolvat. Un elev are masa de $45\mathrm{kg}$. Care este greutatea lui pe Pământ și pe Lună?

1. Pe Pământ, cu $g=10N/kg$: $G=45\mathrm{kg}\cdot 10N/kg=450\mathrm{N}$.
2. Pe Lună, cu $g_{\mathrm{L}}=1,6N/kg$: $G_{\mathrm{L}}=45\mathrm{kg}\cdot 1,6N/kg=72\mathrm{N}$.
3. Masa este $45\mathrm{kg}$ în ambele locuri.

Pe Lună elevul cântărește mult mai puțin, deși cantitatea lui de substanță este aceeași.

Greutatea unui corp aflat la suprafața unui astru, sau în apropierea lui, este forța de atracție gravitațională exercitată de astru asupra corpului. Vectorial, $\vec{G}=m\vec{g}$, cu $\vec{g}$ orientat spre centrul astrului, iar în modul $G=mg$. Din relație rezultă unitatea de măsură $[g{]}_{SI}=N/kg=m/{\mathrm{s}}^2$: aceeași mărime se numește intensitatea câmpului gravitațional, când e privită ca forță pe unitatea de masă, și accelerația gravitațională, când e privită ca accelerația unui corp în cădere liberă. Lecția „Câmpul gravitațional” tratează variația ei cu altitudinea.

Ordinele de mărime se rețin ușor: un adult cu masa de $70\mathrm{kg}$ are greutatea de circa $700\mathrm{N}$ (exact $686\mathrm{N}$ cu $g=9,8N/kg$), iar un autoturism de $1200\mathrm{kg}$ are greutatea de circa $12000\mathrm{N}$. Valoarea lui $g$ depinde de locul de pe glob. La nivelul mării este de circa $9,78N/kg$ la Ecuator și de circa $9,83N/kg$ la poli. Diferența apare din cauza turtirii Pământului la poli și a rotației lui. Pe Lună $g_{\mathrm{L}}=1,62N/kg$ (rotunjit la $1,6N/kg$ în problemele simple), iar pe Marte $g_{\mathrm{M}}=3,7N/kg$. În problemele de liceu se folosește valoarea din enunț: $9,8N/kg$ sau $10N/kg$. Diferența dintre ele este de aproximativ $2\%$ și se vede în rezultat: aceeași greutate poate corespunde unor mase de $1,50\mathrm{kg}$ sau $1,47\mathrm{kg}$.

Greutatea nu este același lucru cu forța de apăsare a corpului pe suport și nici cu reacțiunea normală. Greutatea acționează asupra corpului, din partea Pământului, iar apăsarea acționează asupra suportului, din partea corpului. Când suportul și corpul sunt în repaus sau se mișcă uniform, cele două forțe au același modul, iar un cântar arată exact $m$. Într-un lift care accelerează, cântarul indică reacțiunea normală, deci altă valoare decât $mg$, dar greutatea, adică atracția Pământului, rămâne $mg$. Lecția „Reacțiunea normală și tensiunea în fir” explică situația. Corpul pe orbită are o greutate nenulă: un satelit situat la $400\mathrm{km}$ altitudine este atras cu aproape $90\%$ din forța de la sol, iar „imponderabilitatea” apare pentru că satelitul și tot ce conține cad liber împreună, deci nimic nu apasă pe nimic.

Exemplu rezolvat 1. Un dinamometru la care e atârnat un corp indică $14,7\mathrm{N}$. Se cere masa corpului, pentru $g=9,8N/kg$.

1. Resortul dinamometrului este în echilibru, deci forța elastică are același modul ca greutatea: $G=14,7\mathrm{N}$.
2. Din $G=mg$ rezultă $m=G/g$.
3. Calculăm: $m=14,7\mathrm{N}:9,8N/kg=1,5\mathrm{kg}$.

Dacă enunțul ar fi cerut $g=10N/kg$, rezultatul ar fi fost $1,47\mathrm{kg}$.

Exemplu rezolvat 2. Un astronaut echipat are masa totală de $120\mathrm{kg}$. Se compară greutățile lui pe Pământ ($9,8N/kg$) și pe Lună ($1,62N/kg$).

1. Pe Pământ: $G_{\mathrm{P}}=120\cdot 9,8=1176\mathrm{N}$.
2. Pe Lună: $G_{\mathrm{L}}=120\cdot 1,62=194,4\mathrm{N}$.
3. Raportul greutăților este $G_{\mathrm{P}}/G_{\mathrm{L}}=9,8/1,62\approx 6,05$, iar greutatea scade cu $1176-194,4=981,6\mathrm{N}$.

Masa de $120\mathrm{kg}$ nu se schimbă: la fel de greu se pune în mișcare costumul pe Lună, deși se ridică mai ușor.

La examen, greutatea apare rar singură; ea intră în ecuațiile de echilibru sau de mișcare. Cele mai frecvente cereri sunt:

• greutatea din densitate și volum, $G=\rho Vg$;
• descompunerea greutății pe un plan înclinat, $G\sin \alpha$ de-a lungul planului și $G\cos \alpha$ perpendicular pe plan;
• compararea greutăților pe două astre, cu raportul $g_1/g_2$ dat;
• distingerea greutății de forța elastică, de normală sau de tensiune, care sunt alte forțe, cu alte puncte de aplicație.

Pentru un astru de masă $M$ și rază $R$, $g=KM/R^2$, deci raportul dintre intensitățile câmpului la suprafața astrului și la suprafața Pământului este $(M/M_{\mathrm{P}})\cdot (R_{\mathrm{P}}/R{)}^2$. O planetă cu masa de patru ori mai mare și raza de două ori mai mare ca ale Pământului are același $g$ ca Pământul, pentru că $4\cdot (1/2{)}^2=1$. Capcanele sunt unitățile și valoarea lui $g$: volumele din $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ se transformă în ${\mathrm{m}}^3$ cu factorul $10^{-6}$, iar rezultatul unei greutăți se dă în newtoni, nu în kilograme. Valoarea lui $g$ se ia întotdeauna din enunț, pentru că subiectele de examen precizează dacă se folosește $10m/{\mathrm{s}}^2$ sau $9,8m/{\mathrm{s}}^2$.

Exemplu în formatul examenului. Un cub din oțel, cu densitatea $\rho =7800kg/{\mathrm{m}}^3$, are volumul de $250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$. Greutatea lui, pentru $g=10N/kg$, este:

• a) $1,95\mathrm{N}$
• b) $19,5\mathrm{N}$
• c) $195\mathrm{N}$
• d) $19500\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Transformăm volumul: $250\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=250\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^3=2,5\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$.
2. Masa este $m=\rho V=7800\cdot 2,5\cdot 10^{-4}=1,95\mathrm{kg}$.
3. Greutatea este $G=mg=1,95\cdot 10=19,5\mathrm{N}$.
4. Varianta a) este masa, cu valoarea numerică luată drept greutate. Variantele c) și d) vin din transformări greșite ale volumului, în $2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ și, respectiv, în $0,25{\mathrm{m}}^3$.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: greutatea se măsoară în kilograme.
  Corect: greutatea este o forță și se măsoară în newtoni, iar masa se măsoară în kilograme.
• Greșit: un corp așezat pe masă nu mai are greutate.
  Corect: greutatea acționează în continuare asupra corpului, iar masa o echilibrează prin reacțiunea normală.
• Greșit: pe Lună masa unui corp este mai mică decât pe Pământ.
  Corect: masa este aceeași, iar greutatea este mai mică, deoarece $g_{\mathrm{L}}<g$.
• Greșit: astronauții din stația orbitală plutesc pentru că acolo nu există gravitație.
  Corect: gravitația există, iar astronauții plutesc fiindcă ei și stația cad liber în jurul Pământului.
• Greșit: $N=mg$ pe orice suport.
  Corect: $N=mg$ doar pe un plan orizontal, fără alte forțe verticale și fără accelerație verticală.

Înainte și după