Frecare și elasticitate

Frecarea și elasticitatea descriu efecte diferite ale interacțiunilor mecanice. Frecarea se opune mișcării relative sau tendinței de alunecare între suprafețe. Elasticitatea descrie răspunsul unui corp la deformare și posibilitatea de a reveni spre forma inițială. Într-o problemă pot acționa simultan, dar trebuie modelate separat.

Frecarea te ajută să mergi fără să aluneci, dar poate încălzi și uza piesele unei biciclete. Uneori un obiect rămâne pe loc deoarece frecarea statică se adaptează împingerii; alteori alunecă și apare frecarea la alunecare. Explicația și calculul sunt în „Frecarea statică și la alunecare”.

Un resort întins se opune deformării și tinde să revină la lungimea inițială. În domeniul elastic liniar, modulul forței elastice este proporțional cu alungirea: $F_e=k\Delta l$. Dacă materialul este deformat dincolo de limita elastică, nu revine complet la forma inițială. Constanta $k$ caracterizează rigiditatea resortului și se măsoară în $N/m$.

Pentru un corp tras de un resort pe un plan, desenul forțelor arată separat tracțiunea elastică și frecarea. Prima depinde de deformarea resortului în domeniul liniar; a doua depinde de contactul și de regimul de mișcare dintre suprafețe. Rezultanta se obține numai după ce stabilim direcția și sensul fiecărei forțe.

Cele două forțe au aceeași origine: ambele provin din interacțiunea dintre particulele corpurilor aflate în contact sau legate între ele. Se deosebesc prin cauză, direcție și efect energetic. Forța elastică apare ca răspuns la o deformare și se anulează când corpul revine la forma inițială; ea este de revenire și depinde de mărimea deformării. Forța de frecare apare la contactul a două suprafețe care alunecă sau tind să alunece una față de alta și depinde de forța cu care suprafețele sunt apăsate, nu de o deformare vizibilă. Lecțiile „Frecarea statică și la alunecare”, „Legea lui Hooke” și „Tensiune mecanică și modul de elasticitate” dau legile fiecăreia; aici interesează modul în care se combină.

Un suport în contact cu un corp acționează asupra lui printr-o forță de contact cu două componente. Componenta perpendiculară pe suprafață, reacțiunea normală, este o forță elastică: suportul se deformează foarte puțin sub greutatea corpului și „revine” împingându-l. Componenta tangențială este forța de frecare. Reacțiunea totală are modulul $\sqrt{N^2+F_f^2}$. Frecarea este deci o componentă a aceleiași forțe de contact, nu o interacțiune separată.

Din punct de vedere energetic diferența este esențială. Lucrul mecanic al forței elastice se păstrează sub formă de energie potențială elastică, $E_p=k\Delta l^2/2$, și poate fi restituit corpului când resortul se destinde. Lucrul mecanic al frecării de alunecare se transformă în căldură și nu se mai recuperează. De aceea un corp lăsat să oscileze atârnat de un resort se oprește în timp, pentru că frecările (în aer și în resort) consumă energia mecanică.

Regimul de frecare se stabilește înaintea oricărui calcul. În repaus, frecarea statică satisface inegalitatea $F_s\le {\mu }_{s}N$ și se determină din echilibru. În alunecare, ea are valoarea $F_f=\mu N$. Un resort care trage un corp arată bine cele două regimuri: forța elastică crește pe măsură ce alungirea crește, iar corpul pornește când $k\Delta l$ atinge ${\mu }_{s}N$; după pornire, tracțiunea necesară scade la $\mu N$. Când corpul se oprește și se agață din nou de suprafață, fenomenul se repetă, ca o alunecare sacadată: așa scârțâie o ușă și așa vibrează coarda viorii sub arcuș.

Exemplu rezolvat 1. Un bloc cu masa de $1,5\mathrm{kg}$ este tras pe o masă orizontală cu un resort cu constanta $k=80N/m$. Coeficienții de frecare sunt ${\mu }_s=0,30$ și $\mu =0,20$, iar $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Se cer alungirea resortului în clipa pornirii și în mișcarea uniformă.

1. Forța normală este $N=mg=15\mathrm{N}$.
2. La pornire, forța elastică egalează frecarea statică maximă: $k\Delta l_1={\mu }_{s}N=4,5\mathrm{N}$, deci $\Delta l_1=4,5/80\approx 0,056\mathrm{m}=5,6\mathrm{cm}$.
3. În mișcarea uniformă, $k\Delta l_2=\mu N=3,0\mathrm{N}$, deci $\Delta l_2=3,0/80\approx 0,038\mathrm{m}=3,8\mathrm{cm}$.

Resortul se scurtează după pornire, pentru că frecarea de alunecare este mai mică decât frecarea statică maximă.

Exemplu rezolvat 2. Un corp cu masa de $2\mathrm{kg}$ stă pe un plan înclinat cu unghiul de $30^{\circ }$, ținut de un resort paralel cu planul, cu $k=100N/m$. Coeficientul de frecare statică este $0,30$. Pentru ce alungiri ale resortului rămâne corpul în repaus? Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Componenta greutății de-a lungul planului este $mg\sin 30^{\circ }=10\mathrm{N}$, iar frecarea statică maximă este ${\mu }_{s}mg\cos 30^{\circ }\approx 5,2\mathrm{N}$.
2. Când corpul tinde să alunece în jos, frecarea acționează în sus: $k\Delta l_{\min }=10-5,2=4,8\mathrm{N}$, deci $\Delta l_{\min }\approx 4,8\mathrm{cm}$.
3. Când tinde să urce, frecarea acționează în jos: $k\Delta l_{\max }=10+5,2=15,2\mathrm{N}$, deci $\Delta l_{\max }\approx 15,2\mathrm{cm}$.

Echilibrul există pentru orice alungire cuprinsă între $4,8\mathrm{cm}$ și $15,2\mathrm{cm}$, deoarece frecarea statică se adaptează.

Problemele combină frecarea cu forța elastică în patru tipare: determinarea coeficienților de frecare din alungirea resortului la pornire și în mișcarea uniformă, echilibrul pe plan înclinat cu domeniu de alungiri, corpul tras de resort cu accelerație și citirea unui grafic al forței elastice în timp, cu un maxim la pornire (frecarea statică maximă) urmat de un palier mai coborât (frecarea de alunecare). La urcarea uniformă pe un plan înclinat de unghi $\alpha$, tracțiunea elastică este $k\Delta l=mg\sin \alpha +\mu mg\cos \alpha$, iar la coborârea uniformă frecarea își schimbă sensul și devine $k\Delta l=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha$. Pașii sunt aceiași: se alege regimul, se calculează normala, se scriu forțele pe axe, apoi se aplică $k\Delta l$ cu alungirea în metri.

Exemplu în formatul examenului. Un corp cu masa de $2\mathrm{kg}$ este tras uniform pe o masă orizontală de un resort cu constanta $k=200N/m$. Coeficientul de frecare la alunecare este $\mu =0,25$, iar $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Alungirea resortului este:

• a) $0,25\mathrm{cm}$
• b) $2,5\mathrm{cm}$
• c) $10\mathrm{cm}$
• d) $40\mathrm{cm}$

Rezolvare.

1. Mișcarea este uniformă, deci $k\Delta l=F_f=\mu N$.
2. Pe orizontală, $N=mg=20\mathrm{N}$, deci $F_f=0,25\cdot 20=5\mathrm{N}$.
3. Alungirea este $\Delta l=5/200=0,025\mathrm{m}=2,5\mathrm{cm}$.
4. Varianta a) folosește masa în loc de greutate ($N=2\mathrm{N}$), varianta c) uită coeficientul de frecare, iar varianta d) împarte la $\mu$ în loc să înmulțească cu el.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: a considera că frecarea există numai când obiectul alunecă deja.
  Corect: frecarea statică acționează și în repaus, cât timp există tendință de alunecare.
• Greșit: a aplica legea lui Hooke după ce materialul a depășit domeniul elastic liniar.
  Corect: legea $F_e=k\Delta l$ este valabilă numai în domeniul elastic.
• Greșit: a confunda forța de frecare, tangentă la contact, cu reacțiunea normală, perpendiculară pe contact.
  Corect: frecarea este componenta tangențială, iar normala este componenta perpendiculară a forței de contact.
• Greșit: a crede că frecarea și forța elastică sunt egale ca modul într-un montaj cu resort, fără să verifici mișcarea.
  Corect: ele sunt egale numai la echilibru sau în mișcare uniformă; la accelerare rezultanta lor este $ma$.

Înainte și după