Legile lui Kepler și orbitele

Legile lui Kepler descriu regularitățile mișcării planetelor pe baza observațiilor astronomice. Ele precizează forma orbitelor, faptul că viteza areolară este constantă și relația dintre perioada orbitală și dimensiunea orbitei. Kepler le-a formulat empiric; explicația dinamică prin atracția gravitațională a fost dezvoltată ulterior de Newton.

Prima lege afirmă că orbita unei planete este o elipsă, cu Soarele într-unul dintre focare; cercul este un caz particular al elipsei. A doua lege afirmă că raza vectoare Soare–planetă descrie arii egale în intervale de timp egale. Rezultă că viteza orbitală este mai mare în apropierea Soarelui și mai mică la distanță mai mare.

A treia lege compară durata unei revoluții complete, numită perioadă, cu mărimea orbitei. Pentru planete care se mișcă în jurul aceluiași corp central, cele cu orbite mai mari au perioade mai lungi, conform relației $T^2/a^3=const.$. Pământul face o revoluție în jurul Soarelui într-un an, iar planetele mai îndepărtate au nevoie de mai mult timp.

Un satelit artificial se află pe o orbită apropiată de un cerc în jurul Pământului, dar nu toate orbitele sunt cercuri. Pentru a compara orbite, spune clar care este corpul central și ce măsori: distanță, viteză sau perioadă. „Este pe orbită” nu înseamnă că gravitația a dispărut; gravitația este tocmai interacțiunea care îi curbează mișcarea.

Prima lege. Orbita unei planete este o elipsă cu Soarele într-unul dintre focare. O elipsă are semiaxa mare $a$, semiaxa mică $b$ și distanța focală $c$, cu $c^2=a^2-b^2$; excentricitatea $e=c/a$ ia valori între $0$ (cerc) și $1$. Cea mai mică distanță față de corpul central, periheliul (pentru Soare; pentru Pământ, perigeul), este $r_p=a(1-e)$, iar cea mai mare, afeliul (apogeul), este $r_a=a(1+e)$. Deci $a=(r_p+r_a)/2$. Orbita Pământului are $e=0,017$, deci este aproape circulară: distanța Pământ–Soare variază între $147,1$ și $152,1$ milioane de kilometri. Cometa Halley, cu $e=0,967$, are o orbită foarte alungită.

A doua lege (legea ariilor). Raza vectoare descrie arii egale în intervale de timp egale: viteza areolară $\Delta A/\Delta t$ este constantă. La periheliu și la afeliu viteza este perpendiculară pe raza vectoare, iar aria măturată în timpul $\Delta t$ este aproximativ $\frac{1}{2}rv\Delta t$. Constanța vitezei areolare dă $r_p{v}_p=r_a{v}_a$, de unde $v_p/v_a=r_a/r_p$: planeta se mișcă mai repede aproape de Soare.

A treia lege. Pătratele perioadelor de revoluție sunt proporționale cu cuburile semiaxelor mari: $T^2/a^3=const.$ pentru toate corpurile care orbitează același corp central. Pentru o orbită circulară, atracția gravitațională asigură accelerația centripetă: $KMm/r^2=m{v}^2/r$. Se obțin viteza orbitală $v=\sqrt{KM/r}$, independentă de masa satelitului, și perioada $T=2\pi \sqrt{r^3/(KM)}$, deci $T^2/r^3=4{\pi }^2/(KM)$. Aceeași relație rămâne valabilă pe elipsă dacă $r$ se înlocuiește cu $a$. Viteza orbitală scade pe măsură ce raza crește, iar perioada crește.

Pentru orbite joase în jurul Pământului, $r\approx R$ și $KM/R^2=g$, deci $v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{9,8\cdot 6,37\cdot 10^6}\approx 7,9km/s$ (viteza cosmică întâi). La altitudinea stației spațiale, $400\mathrm{km}$, viteza este $7,67km/s$ și o revoluție durează $92,4$ de minute. Un corp lansat orizontal de la suprafață, cu o viteză mai mare decât $v_1$ și mai mică decât $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11,2km/s$, descrie o elipsă cu Pământul într-un focar; la $v_2$ el părăsește câmpul gravitațional al Pământului.

Exemplu rezolvat 1. Care este raza orbitei unui satelit geostaționar, care are perioada de rotație a Pământului, $T=86164\mathrm{s}$, și ce viteză are? Se iau $K=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ și $M_P=5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$.

1. Din $T=2\pi \sqrt{r^3/(KM)}$ rezultă $r^3=KM{T}^2/(4{\pi }^2)$.
2. Calculăm: $KM=3,98\cdot 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$, deci $r^3=3,98\cdot 10^{14}\cdot (86164{)}^2/39,48\approx 7,48\cdot 10^{22}{\mathrm{m}}^3$ și $r\approx 4,21\cdot 10^7\mathrm{m}$.
3. Viteza este $v=2\pi r/T\approx 3,07km/s$, iar altitudinea $h=r-R\approx 35800\mathrm{km}$.

Satelitul rămâne deasupra aceluiași punct de pe Ecuator pentru că se rotește odată cu Pământul.

Exemplu rezolvat 2. Cometa Halley are periheliul la $0,586\mathrm{UA}$ și semiaxa mare $a=17,8\mathrm{UA}$ ($1\mathrm{UA}$ este distanța medie Pământ–Soare). Se cer perioada, afeliul și raportul vitezelor.

1. Pentru orbite în jurul Soarelui, cu $T$ în ani și $a$ în UA, a treia lege dă $T^2=a^3$, deci $T=17,8^{3/2}\approx 75\text{ani}$.
2. Din $a=(r_p+r_a)/2$ rezultă $r_a=2a-r_p=35,6-0,586\approx 35,0\mathrm{UA}$.
3. Din legea ariilor, $v_p/v_a=r_a/r_p=35,0/0,586\approx 60$.

Cometa se mișcă la periheliu de aproximativ 60 de ori mai repede decât la afeliu.

Greșeli frecvente

• Greșit: a pune Soarele în centrul geometric al oricărei elipse, în locul unui focar.
  Corect: Soarele se află într-unul dintre focarele elipsei.
• Greșit: a spune că planeta are aceeași viteză scalară în orice punct al unei orbite eliptice.
  Corect: viteza este maximă la periheliu și minimă la afeliu; constantă este viteza areolară.
• Greșit: a crede că un satelit rămâne pe orbită fiindcă gravitația nu mai acționează asupra lui.
  Corect: gravitația acționează permanent și este forța centripetă care curbează traiectoria.
• Greșit: a crede că un satelit mai masiv are viteză orbitală mai mare pe aceeași orbită.
  Corect: $v=\sqrt{KM/r}$ nu depinde de masa satelitului, ci de masa corpului central și de raza orbitei.

Înainte și după