Forța centripetă

O mașină intră într-un viraj. Chiar dacă vitezometrul rămâne la aceeași valoare, direcția mișcării se schimbă. Schimbarea direcției înseamnă accelerație, iar pentru o curbă circulară ea este orientată spre centrul curbei. Pentru a produce această accelerație, trebuie să existe o forță rezultantă spre centru: o numim forță centripetă.

„Centripetă” nu numește o forță nouă, separată de toate celelalte. Ea poate fi frecarea dintre pneuri și drum, tensiunea unui fir care ține un obiect rotit, atracția gravitațională asupra unui satelit sau rezultanta mai multor forțe. Întrebarea utilă este: ce interacțiune reală oferă forța spre centru aici?

Dacă un obiect legat de un fir se rotește, firul îl trage spre centru. Dacă firul se rupe, această tragere dispare. Obiectul nu pornește direct spre exterior pe o rază: în primul moment continuă în direcția vitezei pe care o avea, tangentă la cerc, apoi alte forțe îi pot schimba traiectoria.

Cu cât mișcarea este mai rapidă sau curba mai strânsă, cu atât este necesară o accelerație spre centru mai mare. De aceea, un viraj luat prea repede poate depăși aderența disponibilă. Nu testa ideea prin rotirea unor obiecte grele ori prin manevre riscante. Un desen cu cercul, săgeata vitezei tangentă și săgeata accelerației spre centru este suficient pentru a înțelege direcțiile.

Într-un reper inerțial, un corp care descrie un cerc de rază $r$ cu viteza scalară $v$ constantă are accelerația centripetă $a_c=v^2/r={\omega }^{2}r$, orientată spre centru, iar principiul fundamental scris pe direcția razei dă $F_c=m{a}_c=m{v}^2/r$. Mărimea $F_c$ este rezultanta componentelor radiale ale forțelor reale, luate cu semn plus dacă sunt orientate spre centru și cu minus dacă sunt orientate în afară. Ea nu se adaugă pe diagrama de corp liber, pentru că ar însemna să numeri aceeași acțiune de două ori. Pe direcția tangentă, într-o mișcare circulară uniformă, rezultanta este nulă.

Procedura este aceeași în orice problemă: desenezi forțele reale, alegi axa radială orientată spre centru, scrii $\sum F_{\mathrm{rad}}=m{v}^2/r$ și, pe axa perpendiculară pe planul cercului, scrii echilibrul. Forța care joacă rolul de forță centripetă diferă de la caz la caz. Pe un drum orizontal, rolul îl are frecarea statică dintre pneuri și carosabil: la limita aderenței $\mu mg=m{v}^2/r$, deci $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}$, independentă de masă; la $r=50\mathrm{m}$ și $\mu =0,4$, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, $v_{\max }\approx 14,1m/s\approx 51km/h$. Într-un viraj înclinat cu unghiul $\alpha$ față de orizontală, fără frecare, rolul îl are componenta orizontală a normalei $N\sin \alpha$, iar din $N\cos \alpha =mg$ rezultă $mg\mathrm{tg}\alpha =m{v}^2/r$, deci $\mathrm{tg}\alpha =v^2/(gr)$. La un satelit, rolul îl are atracția gravitațională.

Reperele neinerțiale. Un reper care accelerează față de unul inerțial nu respectă principiul inerției: un corp liber pare să accelereze fără ca vreun corp să acționeze asupra lui. Într-un asemenea reper, principiul fundamental rămâne valabil dacă se adaugă forțe de inerție. Pentru un reper aflat în translație cu accelerația ${\vec{a}}_0$, forța de inerție este ${\vec{F}}_i=-m{\vec{a}}_0$. Într-un reper care se rotește uniform cu viteza unghiulară $\omega$, un corp aflat în repaus față de el este supus forței centrifuge de inerție $F_{cf}=m{\omega }^{2}r$, orientată de la axă spre exterior. Forța de inerție nu are agent și nu are o pereche acțiune–reacțiune; ea apare doar din alegerea reperului. Cele două descrieri, în reperul inerțial și în cel rotitor, dau aceleași rezultate numerice pentru forțele reale.

Exemplu rezolvat 1. Un pendul conic are un corp de $0,20\mathrm{kg}$ legat de un fir de lungime $l=1,0\mathrm{m}$. Corpul descrie un cerc orizontal, iar firul face cu verticala unghiul $\theta =30^{\circ }$. Se cer tensiunea din fir, raza cercului și viteza unghiulară, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Pe verticală nu există accelerație: $T\cos \theta =mg$, deci $T=0,20\cdot 10/0,866\approx 2,31\mathrm{N}$.
2. Raza cercului este $r=l\sin \theta =1,0\cdot 0,5=0,50\mathrm{m}$.
3. Componenta orizontală a tensiunii este forța centripetă: $T\sin \theta =m{\omega }^{2}r$, de unde ${\omega }^2=g/(l\cos \theta )$, deci $\omega =\sqrt{10/0,866}\approx 3,4rad/s$.

Perioada este $2\pi /\omega \approx 1,85\mathrm{s}$. În reperul rotitor, același rezultat se citește ca echilibru între componenta orizontală a tensiunii și forța centrifugă de inerție.

Exemplu rezolvat 2. Un autoturism cu masa de $1000\mathrm{kg}$ trece cu viteza de $10m/s$ peste mijlocul unui pod convex, circular, cu raza de curbură $R=40\mathrm{m}$. Se cere forța normală exercitată de pod și viteza la care mașina părăsește podul. Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. În vârf, centrul este în jos. Axa radială spre centru dă $mg-N=m{v}^2/R$.
2. Rezultă $N=m(g-v^2/R)=1000\cdot (10-100/40)=7500\mathrm{N}$, mai mică decât greutatea de $10000\mathrm{N}$.
3. Mașina se desprinde de pod când $N=0$, adică $v=\sqrt{gR}=\sqrt{400}=20m/s$.

Șoferul simte mașina „mai ușoară” pe pod, deoarece o parte din greutate este folosită pentru accelerația spre centru.

Greșeli frecvente

• Greșit: desenarea unei „forțe centripete” suplimentare peste tensiunea sau frecarea care deja asigură rezultanta radială.
  Corect: forța centripetă este rezultanta forțelor reale spre centru și nu se desenează separat.
• Greșit: viteza se desenează spre centru.
  Corect: viteza este tangentă la cerc, accelerația este orientată spre centru.
• Greșit: a crede că viteza scalară constantă înseamnă accelerație nulă.
  Corect: direcția vitezei se schimbă, deci există accelerația $a=v^2/r$.
• Greșit: a introduce forța centrifugă de inerție în ecuațiile scrise într-un reper inerțial.
  Corect: forța centrifugă de inerție apare numai în reperul care se rotește odată cu corpul; în reperul inerțial se folosește $F_c=m{v}^2/r$.

Înainte și după