Compunerea și descompunerea forțelor

Două persoane trag aceeași sanie. Dacă trag amândouă înainte, efectele se adună. Dacă una trage înainte și alta înapoi, efectele se opun. Asupra unui corp pot acționa mai multe forțe în același timp, iar rezultanta lor este forța unică ce ar avea același efect asupra mișcării ca toate forțele luate împreună. Acțiunea de a găsi rezultanta se numește compunerea forțelor.

Forța este o mărime vectorială: are valoare, direcție, sens și punct de aplicație, deci o reprezentăm printr-o săgeată. Când forțele au aceeași direcție, calculul este simplu. Forțele de $5\mathrm{N}$ și $3\mathrm{N}$ de același sens au rezultanta $5+3=8\mathrm{N}$, în acel sens. Forțele de $5\mathrm{N}$ și $3\mathrm{N}$ de sensuri opuse au rezultanta $5-3=2\mathrm{N}$, în sensul forței mai mari. Dacă forțele au direcții diferite, nu se adună valorile, ci vectorii.

Pentru două forțe concurente, care pornesc din același punct, folosim regula paralelogramului: construim cu cele două săgeți laturile unui paralelogram, iar diagonala care pornește din același punct este rezultanta. Putem așeza și săgețile cap la cap, pornind a doua din vârful primei; săgeata care unește începutul primei cu vârful ultimei este rezultanta (regula poligonului). Dacă forțele sunt perpendiculare, paralelogramul devine dreptunghi, iar valoarea rezultantei se află cu teorema lui Pitagora: $R=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$.

Operația inversă este descompunerea: o forță oblică se înlocuiește cu două forțe componente, de obicei una orizontală și una verticală, care împreună au același efect. Un cărucior tras de mâner nu este tras doar înainte: componenta orizontală îl deplasează, iar cea verticală îl ușurează puțin.

Când rezultanta tuturor forțelor este zero, corpul este în echilibru de translație: ca la o lampă atârnată de două fire, vectorii formează un poligon închis.

Exemplu rezolvat. Două remorchere trag o barcă pe două direcții perpendiculare, unul cu $6\mathrm{kN}$, celălalt cu $8\mathrm{kN}$. Care este valoarea rezultantei?

1. Desenăm cele două forțe pornind din același punct al bărcii, perpendiculare una pe alta.
2. Completăm dreptunghiul; rezultanta este diagonala lui.
3. Din teorema lui Pitagora: $R=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\mathrm{kN}$.

Rezultanta, $10\mathrm{kN}$, este mai mică decât suma valorilor ($14\mathrm{kN}$): forțele cu direcții diferite se ajută mai puțin decât cele care acționează pe aceeași direcție și în același sens.

Pentru două forțe concurente care fac între ele unghiul $\alpha$, valoarea rezultantei este $R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos \alpha }$ (teorema cosinusului pentru paralelogram). Cazuri-limită: pentru $\alpha =0^{\circ }$, $R=F_1+F_2$; pentru $\alpha =180^{\circ }$, $R=|F_1-F_2|$; pentru $\alpha =90^{\circ }$, $R=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$. Deci $|F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2$, iar rezultanta poate fi mai mică decât una dintre componente. Unghiul $\beta$ al rezultantei față de ${\vec{F}}_1$ rezultă din $\mathrm{tg}\beta =\frac{F_2\sin \alpha }{F_1+F_2\cos \alpha }$.

Pentru mai multe forțe concurente se folosește metoda proiecțiilor. Alegem două axe perpendiculare. O forță $F$ care face unghiul $\theta$ cu axa $Ox$ are componentele $F_x=F\cos \theta$ și $F_y=F\sin \theta$, cu semnul dat de sensul vectorului pe axă. Apoi $R_x=\sum F_{ix}$, $R_y=\sum F_{iy}$, iar $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$. Un cărucior tras de mâner cu $60\mathrm{N}$ la $30^{\circ }$ față de orizontală primește o componentă orizontală de $60\cos 30^{\circ }\approx 52\mathrm{N}$ și una verticală de $60\sin 30^{\circ }=30\mathrm{N}$, orientată în sus.

Descompunerea unei forțe după două direcții date este unică: se duc prin vârful vectorului paralele la cele două direcții, iar laturile paralelogramului astfel obținut sunt componentele. Alegerea axelor contează. O axă se orientează după accelerația corpului sau după planul înclinat, astfel încât o parte din forțe să nu aibă componente pe cealaltă axă, iar ecuațiile să fie cât mai simple. Pentru mai mult de două forțe, regula poligonului dă același rezultat ca adunarea pe axe, oricare ar fi ordinea în care se așază vectorii, deoarece adunarea vectorilor este comutativă și asociativă.

Condiția de echilibru de translație (lecția „Echilibrul de translație”) este $\vec{R}=\vec{0}$, adică $R_x=0$ și $R_y=0$. Pentru trei forțe în echilibru, vectorii formează un triunghi închis. Dacă forțele nu sunt aplicate în același punct al unui corp rigid, echilibrul de translație nu garantează absența rotației; pentru aceasta suma momentelor forțelor trebuie să fie și ea nulă (lecția „Momentul forței și echilibrul de rotație”).

Exemplu rezolvat 1. Două forțe de $30\mathrm{N}$ și $50\mathrm{N}$ acționează asupra aceluiași punct și fac între ele unghiul de $60^{\circ }$. Se cer valoarea rezultantei și unghiul ei față de forța de $30\mathrm{N}$.

1. Aplicăm formula: $R^2=30^2+50^2+2\cdot 30\cdot 50\cdot \cos 60^{\circ }=900+2500+1500=4900{\mathrm{N}}^2$.
2. Rezultă $R=70\mathrm{N}$.
3. Unghiul față de ${\vec{F}}_1$ este dat de $\mathrm{tg}\beta =\frac{50\cdot 0,866}{30+50\cdot 0,5}=\frac{43,3}{55}\approx 0,787$, deci $\beta \approx 38^{\circ }$.

Rezultanta este orientată între cele două forțe, mai aproape de cea mai mare.

Exemplu rezolvat 2. O lampă cu masa de $4\mathrm{kg}$ este atârnată de două fire identice, simetrice, fiecare făcând $30^{\circ }$ cu orizontala. Se cere tensiunea din fiecare fir, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Greutatea lampei este $G=mg=40\mathrm{N}$, în jos.
2. Lampa este în echilibru. Pe orizontală, componentele orizontale ale tensiunilor se anulează reciproc. Pe verticală, $2T\sin 30^{\circ }=G$.
3. Rezultă $T=G/(2\sin 30^{\circ })=40/(2\cdot 0,5)=40\mathrm{N}$.

Dacă firele ar fi aproape orizontale, de exemplu la $10^{\circ }$ cu orizontala, tensiunea ar fi $40/(2\sin 10^{\circ })\approx 115\mathrm{N}$, deci de aproape trei ori mai mare.

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna valorile forțelor fără să ții seama de direcții.
  Corect: forțele se compun vectorial, prin regula paralelogramului sau prin proiecții pe axe.
• Greșit: a inversa sinusul și cosinusul fără să verifici față de care axă este măsurat unghiul.
  Corect: $F_x=F\cos \theta$ când $\theta$ este măsurat față de axa $Ox$; $F_y=F\sin \theta$.
• Greșit: a crede că rezultanta este întotdeauna mai mare decât fiecare dintre forțele componente.
  Corect: valoarea ei este cuprinsă între $|F_1-F_2|$ și $F_1+F_2$, deci poate fi și mai mică decât una dintre ele.
• Greșit: a crede că rezultanta nulă garantează și lipsa rotației unui corp rigid.
  Corect: pentru echilibrul complet, și suma momentelor forțelor trebuie să fie nulă.

Înainte și după