Câmpul gravitațional

Pământul atrage corpurile fără contact direct. Câmpul gravitațional descrie acțiunea gravitației în fiecare punct din jurul său: direcția și intensitatea câmpului determină forța asupra unei mase de probă plasate acolo.

Aproape de suprafața Pământului, câmpul este orientat vertical în jos și poate fi considerat uniform pe distanțe mici. La distanțe mari, intensitatea lui scade. Săgețile și liniile de câmp sunt reprezentări grafice ale direcției câmpului, nu trasee materiale.

Intensitatea câmpului gravitațional într-un loc poate fi exprimată ca forța gravitațională pe fiecare kilogram de masă pus acolo. Aproape de sol este $9,8N/kg$, echivalent numeric cu accelerația gravitațională $9,8m/{\mathrm{s}}^2$. Un corp de $2\mathrm{kg}$ are atunci greutatea $19,6\mathrm{N}$. În probleme se folosește $10N/kg$, dacă enunțul o cere.

Într-o cameră sau pe un teren de joacă, câmpul este considerat uniform: direcția și mărimea lui variază atât de puțin încât simplificarea ajută. La înălțimi foarte mari, cum sunt orbitele sateliților, această simplificare nu mai este suficientă. De aceea, trebuie să știi unde se aplică modelul folosit.

Un corp de masă $M$ creează în jurul lui un câmp gravitațional. Intensitatea câmpului într-un punct este forța gravitațională pe unitatea de masă a unui corp de probă $m$ plasat acolo: $\vec{g}={\vec{F}}_g/m$. Unitatea ei în SI este $N/kg=m/{\mathrm{s}}^2$. Corpul de probă are masa atât de mică, încât nu modifică câmpul pe care îl măsoară. Forța asupra oricărui corp de masă $m$ aflat în acel punct este ${\vec{F}}_g=m\vec{g}$.

Pentru un corp sferic cu distribuție simetrică a masei, la distanța $r$ de centru (în exterior), intensitatea are modulul $g(r)=KM/r^2$, cu $K=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$, și este orientată spre centru. Intensitatea scade cu pătratul distanței față de centru: la dublarea lui $r$ ea devine de patru ori mai mică. Când mai multe corpuri creează câmp în același punct, intensitatea rezultantă este suma vectorială a intensităților create de fiecare; pe dreapta dintre Pământ și Lună există un punct în care cele două intensități au module egale și sensuri opuse, deci câmpul rezultant este nul.

Liniile de câmp sunt curbe tangente în fiecare punct la vectorul $\vec{g}$. Pentru o planetă sferică sunt raze orientate spre centru. Ele nu se intersectează și sunt mai dese acolo unde câmpul este mai intens. Un câmp este uniform dacă $\vec{g}$ are aceeași direcție, același sens și același modul în toate punctele regiunii; liniile lui sunt drepte paralele și echidistante. Aproape de suprafața Pământului câmpul poate fi tratat ca uniform: pe o porțiune orizontală de $1\mathrm{km}$, direcția lui se schimbă cu mai puțin de $0,01^{\circ }$, iar în înălțime, la $1\mathrm{km}$ deasupra solului, intensitatea scade cu doar $0,03\%$.

La înălțimea $h$ deasupra suprafeței planetei de rază $R$, distanța față de centru este $r=R+h$, nu $h$. Raportând $g(R+h)=KM/(R+h{)}^2$ la $g_0=KM/R^2$ se elimină produsul $KM$ și rezultă $\frac{g(h)}{g_0}=(\frac{R}{R+h}{)}^2$. Pentru $h=R$ intensitatea este un sfert din cea de la suprafață, nu jumătate. La suprafața Lunii, cu $M_L=7,35\cdot 10^{22}\mathrm{kg}$ și $R_L=1,74\cdot 10^6\mathrm{m}$, aceeași relație dă $g_L=K{M}_L/R_L^2\approx 1,62N/kg$.

Exemplu rezolvat 1. Se cere intensitatea câmpului gravitațional la altitudinea de $400\mathrm{km}$, la care orbitează Stația Spațială Internațională. Se cunosc $g_0=9,8N/kg$ și $R=6400\mathrm{km}$.

1. Distanța față de centrul Pământului este $r=R+h=6400+400=6800\mathrm{km}$.
2. Raportul intensităților este $g/g_0=(R/r{)}^2=(6400/6800{)}^2\approx 0,886$.
3. Intensitatea este $g=9,8\cdot 0,886\approx 8,68N/kg$.

La altitudinea stației, câmpul este cu doar aproximativ $11\%$ mai slab decât la sol; astronauții plutesc pentru că ei și stația se află în cădere liberă, nu pentru că ar lipsi câmpul.

Exemplu rezolvat 2. La ce altitudine intensitatea câmpului gravitațional scade cu $1\%$ față de valoarea de la sol? Se ia $R=6400\mathrm{km}$.

1. Condiția este $g(h)/g_0=0,99$, adică $(R/(R+h){)}^2=0,99$.
2. Extragem rădăcina pătrată: $R/(R+h)=\sqrt{0,99}\approx 0,99499$, deci $R+h=R/0,99499\approx 1,00504R$.
3. Rezultă $h\approx 0,00504\cdot 6400\mathrm{km}\approx 32\mathrm{km}$.

Pentru o scădere cu jumătate, aceeași relație dă $h=(\sqrt{2}-1)R\approx 2650\mathrm{km}$, adică mult mai puțin de o rază planetară.

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda intensitatea câmpului, în $N/kg$, cu forța asupra unui corp, în $\mathrm{N}$.
  Corect: intensitatea câmpului se măsoară în $N/kg$, iar forța $G=mg$ în $\mathrm{N}$.
• Greșit: a folosi altitudinea $h$ în locul distanței $R+h$ față de centrul planetei.
  Corect: în $g=KM/r^2$ se pune $r=R+h$.
• Greșit: a trata liniile de câmp ca trasee reale ale unui obiect în cădere.
  Corect: liniile de câmp arată direcția forței în fiecare punct, nu drumul corpului.
• Greșit: a crede că liniile de câmp mai dese arată un câmp mai slab.
  Corect: liniile sunt mai dese acolo unde intensitatea câmpului este mai mare.

Înainte și după