Viteza

Doi colegi merg pe același traseu de $100\mathrm{m}$. Primul ajunge în $50\mathrm{s}$, al doilea în $100\mathrm{s}$. Primul s-a mișcat mai repede, pentru că a parcurs aceeași distanță într-un timp mai scurt. Mărimea care măsoară „cât de repede” se numește viteză, iar viteza medie este distanța parcursă împărțită la durata mișcării: $v_{\mathrm{med}}=d/\Delta t$.

Pentru colegii din exemplu, $v_{\mathrm{med}}=100\mathrm{m}/50\mathrm{s}=2m/s$ și $100\mathrm{m}/100\mathrm{s}=1m/s$. Unitatea de măsură din Sistemul Internațional este metrul pe secundă. Pe indicatoarele rutiere vezi kilometri pe oră, iar legătura este $1m/s=3,6km/h$: un automobil cu $90km/h$ are $90/3,6=25m/s$. Înainte de calcul, toate mărimile se scriu în aceleași unități. Pentru comparație: un melc înaintează cu circa $1mm/s$, un pieton cu circa $5km/h$, iar un ghepard poate atinge $30m/s$, adică $108km/h$.

Exemplu rezolvat. Un biciclist parcurge $6\mathrm{km}$ în $20\min$, stă $10\min$ la o intersecție, apoi parcurge $3\mathrm{km}$ în $15\min$. Distanța totală este $6+3=9\mathrm{km}$, iar durata totală este $20+10+15=45\min =0,75\mathrm{h}$, cu oprirea inclusă. Viteza medie este $9\mathrm{km}/0,75\mathrm{h}=12km/h$, adică $12/3,6\approx 3,3m/s$.

Viteza medie nu spune ce se întâmplă la fiecare clipă. Biciclistul a mers pe alocuri cu mai mult de $12km/h$ și a avut o clipă viteza zero. Viteza pe care o arată vitezometrul unei mașini este viteza la un moment dat (viteza instantanee): ea se obține ca viteză medie pe un interval de timp foarte scurt.

Viteza are și o direcție și un sens, nu numai o valoare. Doi bicicliști care merg unul spre altul, fiecare cu $5m/s$, au viteze cu aceeași valoare, dar cu sensuri opuse, deci vitezele lor sunt diferite. De aceea, viteza este o mărime vectorială, pe care o desenăm ca pe o săgeată. Valoarea ei (cât de repede) este o mărime scalară, descrisă doar printr-un număr și o unitate de măsură.

Un drum dus-întors arată diferența: pleci de acasă, mergi $200\mathrm{m}$ până la magazin și te întorci. Distanța parcursă este $400\mathrm{m}$, deci viteza medie calculată din distanță nu este zero. Locul de sosire coincide însă cu cel de plecare: deplasarea, adică drumul în linie dreaptă de la punctul de plecare la cel de sosire, este zero, deci și viteza medie vectorială este zero.

Se deosebesc două viteze medii. Viteza medie scalară este $v_s=d/\Delta t$, unde $d$ este distanța parcursă (suma lungimilor tuturor porțiunilor) și $d\ge 0$. Viteza medie vectorială este ${\vec{v}}_{\mathrm{med}}=\Delta \vec{r}/\Delta t$, unde $\Delta \vec{r}$ este deplasarea; pe o axă $Ox$, proiecția ei este $v_x=\Delta x/\Delta t$, iar semnul indică sensul față de sensul pozitiv ales. Conform inegalității $|\Delta \vec{r}|\le d$, modulul vitezei medii vectoriale nu depășește viteza medie scalară; egalitatea are loc pe un traseu rectiliniu parcurs într-un singur sens.

Viteza instantanee $\vec{v}$ este valoarea către care se apropie $\Delta \vec{r}/\Delta t$ când $\Delta t$ devine foarte mic. Ea este tangentă la traiectorie. Modulul $|\vec{v}|$ este viteza scalară instantanee, cea indicată de vitezometru. Din definiția vitezei medii rezultă $d=v_s\Delta t$ și $\Delta t=d/v_s$, cu care se află distanța sau durata când se cunosc celelalte două mărimi; la viteză variabilă ele se folosesc cu viteza medie. Conversia se deduce din $1km/h=1000\mathrm{m}/3600\mathrm{s}=1/3,6m/s$. Dacă viteza este constantă, viteza medie pe orice interval coincide cu viteza instantanee, iar graficul $x(t)$ este o dreaptă. La viteză variabilă cele două diferă: viteza medie descrie întregul interval, iar viteza instantanee, o singură clipă.

Pe graficul $x(t)$ al unei mișcări rectilinii, viteza medie pe un interval este panta secantei care unește capetele intervalului, iar viteza instantanee este panta tangentei. Panta pozitivă înseamnă mișcare în sensul pozitiv al axei, panta negativă înseamnă mișcare în sens contrar, iar panta zero înseamnă repaus. Pe graficul $v_x(t)$, aria cu semn dintre grafic și axa timpului este deplasarea $\Delta x$.

Ordine de mărime: pietonul $1,4m/s$, bicicleta $5m/s$, automobilul pe autostradă $30m/s$ (circa $110km/h$), sunetul în aer $340m/s$, Pământul pe orbită în jurul Soarelui circa $3\cdot 10^{4}m/s$, lumina în vid $3\cdot 10^{8}m/s$.

Exemplu rezolvat 1. Un elev merge $90\mathrm{m}$ spre est în $45\mathrm{s}$, apoi $30\mathrm{m}$ spre vest în $15\mathrm{s}$. Se alege estul ca sens pozitiv al axei $Ox$.

1. Distanța parcursă este $d=90+30=120\mathrm{m}$, iar durata este $\Delta t=45+15=60\mathrm{s}$.
2. Viteza medie scalară este $v_s=d/\Delta t=120/60=2m/s$.
3. Deplasarea este $\Delta x=90-30=+60\mathrm{m}$, deci $v_x=60/60=+1m/s$.

Viteza medie vectorială are modulul $1m/s$ și sensul estului, cu jumătate din valoarea vitezei scalare, pentru că elevul s-a întors pe o parte din drum.

Exemplu rezolvat 2. Poziția unei bile pe o axă este dată de $x=2t^2$, cu $x$ în metri și $t$ în secunde. Se estimează viteza ei la $t=2\mathrm{s}$.

1. La $t=2\mathrm{s}$, poziția este $x=2\cdot 2^2=8\mathrm{m}$.
2. Pe intervalul de la $2\mathrm{s}$ la $3\mathrm{s}$, $v_x=(18-8)/1=10m/s$; de la $2\mathrm{s}$ la $2,5\mathrm{s}$, $v_x=(12,5-8)/0,5=9m/s$; de la $2\mathrm{s}$ la $2,1\mathrm{s}$, $v_x=(8,82-8)/0,1=8,2m/s$.
3. Valorile se apropie de $8m/s$ pe măsură ce intervalul se micșorează.

Viteza la momentul $t=2\mathrm{s}$ este $8m/s$, adică panta tangentei la graficul $x(t)$ în acel punct.

Cea mai frecventă capcană este media aritmetică a vitezelor. Ea dă viteza medie numai dacă duratele porțiunilor sunt egale. Dacă distanțele porțiunilor sunt egale, viteza medie este media armonică: $v_{\mathrm{med}}=2v_1{v}_2/(v_1+v_2)$. La o plecare și o întoarcere pe același drum, viteza medie vectorială pe întreg ciclul este zero. Viteza medie scalară pe un drum dus-întors între două orașe, parcurs cu viteze diferite la dus și la întors, se calculează tot cu media armonică, deoarece distanțele sunt egale. Alte verificări: transformarea minutelor și a kilometrilor în unitățile SI, citirea pantei pe graficul $x(t)$ și identificarea sensului vitezei cu semnul proiecției. Când enunțul dă și timpul de staționare, acesta se adaugă la durata totală, chiar dacă în acel interval nu se parcurge nicio distanță. Rezultatul se verifică prin ordin de mărime: viteza medie pe tot traseul se află între cea mai mică și cea mai mare dintre vitezele porțiunilor.

Exemplu în formatul examenului. Un automobil parcurge un traseu rectiliniu de $240\mathrm{km}$: prima jumătate a distanței cu $60km/h$, a doua jumătate cu $40km/h$. Viteza medie pe întreg traseul este:

• a) $50km/h$
• b) $48km/h$
• c) $24km/h$
• d) $100km/h$

Rezolvare.

1. Fiecare jumătate are $120\mathrm{km}$. Durata primei este $t_1=120/60=2\mathrm{h}$, iar a celei de-a doua $t_2=120/40=3\mathrm{h}$.
2. Durata totală este $t=2+3=5\mathrm{h}$.
3. Viteza medie este $v_{\mathrm{med}}=240\mathrm{km}/5\mathrm{h}=48km/h$.

Varianta a) este media aritmetică a vitezelor, varianta c) rezultă din formula $v_1{v}_2/(v_1+v_2)$ fără factorul $2$, iar varianta d) din adunarea vitezelor.

Răspuns corect: b)

Greșeli frecvente

• Greșit: viteza medie pe tot traseul se calculează împărțind distanța la timpul în care corpul se mișcă, fără timpul opririlor.
  Corect: viteza medie pe un interval folosește durata totală, inclusiv opririle.
• Greșit: la un traseu dus-întors, viteza medie vectorială este egală cu viteza medie scalară.
  Corect: viteza scalară medie este pozitivă, iar viteza vectorială medie este zero, pentru că deplasarea totală este zero.
• Greșit: $36km/h$ se introduce direct ca $36$ într-o formulă cu metri și secunde.
  Corect: $36km/h=10m/s$, deci vitezele din $km/h$ se împart la $3,6$ înainte de calcul.
• Greșit: viteza medie a unui drum cu două porțiuni este media aritmetică a vitezelor porțiunilor.
  Corect: viteza medie este distanța totală împărțită la durata totală; media aritmetică se obține numai când duratele sunt egale.

Înainte și după