Accelerația

Un autobuz stă în stație, apoi pornește: după $1\mathrm{s}$ are $1m/s$, după $2\mathrm{s}$ are $2m/s$, după $3\mathrm{s}$ are $3m/s$. Viteza lui se schimbă, iar mărimea care arată cât de repede se schimbă viteza se numește accelerație. La fel se întâmplă când un biciclist frânează înaintea unei treceri de pietoni: viteza scade, deci și frânarea are accelerație. Contează doar că viteza se schimbă, nu dacă ea crește sau scade.

Accelerația medie se calculează împărțind variația vitezei la durata în care s-a produs: $a=\Delta v/\Delta t$, unde $\Delta v=v_{\mathrm{final}}-v_{\mathrm{ini}\mathrm{ț}\mathrm{ial}}$. Unitatea de măsură este metrul pe secundă la pătrat, $m/{\mathrm{s}}^2$. O accelerație de $2m/{\mathrm{s}}^2$ înseamnă că viteza crește cu $2m/s$ în fiecare secundă.

Exemplu rezolvat. Un biciclist pornește de pe loc și atinge $6m/s$ în $3\mathrm{s}$. Variația vitezei este $\Delta v=6-0=6m/s$, deci $a=6m/s/3\mathrm{s}=2m/{\mathrm{s}}^2$. Un tren care intră în gară are $20m/s$ și se oprește în $10\mathrm{s}$: aici $\Delta v=0-20=-20m/s$, deci $a=-20/10=-2m/{\mathrm{s}}^2$.

Accelerația are, ca și viteza, un sens, așa că o desenăm ca pe o săgeată. Dacă alegem sensul mersului drept sens pozitiv, accelerația este pozitivă la pornire, când săgeata ei arată în sensul mersului, și negativă la frânare, când săgeata arată înapoi. Semnul minus nu înseamnă „mai puțin”, ci doar sens contrar celui ales ca pozitiv.

Ce arată vitezometrul unui automobil este viteza la un moment anume. Accelerația medie este calculată pe un interval întreg, de pildă pe primele $10\mathrm{s}$ după pornire. Accelerația la un moment dat (instantanee) este accelerația medie pe un interval atât de scurt, încât viteza aproape nu mai apucă să se schimbe. Pe un grafic viteză–timp, o dreaptă care urcă arată o accelerație pozitivă, iar cu cât dreapta este mai înclinată, cu atât accelerația este mai mare.

Viteza se schimbă și atunci când se schimbă doar direcția mișcării. Un copil într-un carusel se rotește cu $3m/s$ tot timpul, dar săgeata vitezei lui se rotește odată cu el, deci și el are accelerație, chiar dacă numărul de pe un vitezometru ar rămâne același.

Pentru o mișcare oarecare, accelerația medie este vectorul ${\vec{a}}_{\mathrm{med}}=\Delta \vec{v}/\Delta t$, cu $\Delta \vec{v}={\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i$. Vectorul $\vec{a}$ are direcția și sensul lui $\Delta \vec{v}$, nu neapărat pe cele ale lui $\vec{v}$. Pe o axă $Ox$ se lucrează cu proiecția $a_x=\Delta v_x/\Delta t$, iar sensul pozitiv al axei se alege și se scrie înainte de calcul. Accelerația la un moment dat este valoarea către care se apropie raportul $\Delta \vec{v}/\Delta t$ când $\Delta t$ devine foarte mic; pe graficul $v(t)$ ea este panta tangentei în acel punct.

Cât timp $a$ este constantă, din definiție rezultă $v=v_0+at$, graficul $v(t)$ este o dreaptă cu panta $a$, iar aria cu semn dintre grafic și axa timpului pe un interval (porțiunea de sub axă se ia negativă) este variația poziției, adică deplasarea. Dacă $v_x$ și $a_x$ au același semn, modulul vitezei crește; dacă au semne opuse, modulul scade. Cazuri-limită: $a=0$ cu $v\ne 0$ înseamnă mișcare rectilinie uniformă, iar $v=0$ cu $a\ne 0$ apare în vârful unei aruncări verticale. Unitatea SI se deduce din definiție: $[a]=(m/s)/s=m/{\mathrm{s}}^2$.

Direcția lui $\vec{a}$ depinde de felul mișcării. Pe o traiectorie rectilinie, $\vec{a}$ are direcția traiectoriei: același sens cu $\vec{v}$ când mobilul accelerează și sens opus când frânează. Pe un cerc parcurs cu viteză constantă în modul, $\vec{a}$ este perpendiculară pe $\vec{v}$ și îndreptată spre centru, așa cum arată lecția despre mișcarea circulară uniformă. Cauza unei accelerații este rezultanta forțelor care acționează asupra corpului, relație tratată în dinamică.

Ordine de mărime: un autoturism ajunge de la $0$ la $100km/h$ în aproximativ $10\mathrm{s}$, adică $a\approx 2,8m/{\mathrm{s}}^2$; la o frânare de urgență pe asfalt uscat accelerația are modulul de circa $8m/{\mathrm{s}}^2$; un avion de linie în rulaj de decolare are circa $2m/{\mathrm{s}}^2$. Toate aceste valori se compară util cu $g\approx 10m/{\mathrm{s}}^2$: frânarea de urgență rămâne puțin sub $g$, iar pornirea unui autoturism sau decolarea unui avion sunt de câteva ori mai mici.

Exemplu rezolvat 1. Un tren își reduce viteza de la $72km/h$ la $36km/h$ în $5\mathrm{s}$, pe o linie dreaptă. Se alege sensul pozitiv în sensul mersului.

1. Convertim vitezele în unități SI: $v_i=72/3,6=20m/s$ și $v_f=36/3,6=10m/s$.
2. Calculăm variația vitezei: $\Delta v_x=10-20=-10m/s$.
3. Aplicăm definiția: $a_x=\Delta v_x/\Delta t=-10m/s/5\mathrm{s}=-2m/{\mathrm{s}}^2$.

Accelerația are modulul $2m/{\mathrm{s}}^2$ și sensul opus mersului, deci trenul încetinește. Verificarea se face citind rezultatul în cuvinte: trenul pierde câte $2m/s$ în fiecare secundă, iar în cele $5\mathrm{s}$ pierde $5\cdot 2=10m/s$, exact cât arată diferența dintre vitezele date.

Exemplu rezolvat 2. O barcă merge spre est cu $3m/s$; în $2\mathrm{s}$ virează și își continuă drumul spre nord cu $4m/s$.

1. Alegem axele: estul pe $Ox$, nordul pe $Oy$. Atunci ${\vec{v}}_i=(3;0)m/s$ și ${\vec{v}}_f=(0;4)m/s$.
2. Variația vitezei este $\Delta \vec{v}=(-3;4)m/s$, cu modulul $\sqrt{3^2+4^2}=5m/s$.
3. Accelerația medie are modulul $a=5/2=2,5m/{\mathrm{s}}^2$ și este orientată ca $\Delta \vec{v}$: spre nord-vest.

Diferența modulelor, $4-3=1m/s$, ar fi dat o valoare greșită, $0,5m/{\mathrm{s}}^2$, pentru că vitezele au direcții diferite și $\Delta \vec{v}$ se calculează vectorial.

La probleme cu mai multe porțiuni, accelerația medie pe tot intervalul este $\Delta v_{\mathrm{total}}/\Delta t_{\mathrm{total}}$; ea nu este media aritmetică a accelerațiilor decât dacă porțiunile au durate egale. De exemplu, cu $a_1=2m/{\mathrm{s}}^2$ timp de $4\mathrm{s}$ și $a_2=-1m/{\mathrm{s}}^2$ timp de $6\mathrm{s}$, viteza se schimbă cu $8-6=2m/s$ în $10\mathrm{s}$, deci $a_{\mathrm{med}}=0,2m/{\mathrm{s}}^2$, nu $0,5m/{\mathrm{s}}^2$.

Capcane frecvente: vitezele date în $km/h$ cu timpul în secunde; vitezele de sensuri opuse, unde $\Delta v$ se calculează cu semn (de la $+12$ la $-8m/s$ variația este $-20m/s$, nu $-4m/s$); accelerația confundată cu viteza la un moment dat. Pe graficul $v(t)$ se urmărește panta fiecărui segment, iar segmentul orizontal are $a=0$. Relația de lucru $\Delta v=a\Delta t$ dă direct variația vitezei când se cunosc accelerația și durata; dacă durata este dată în minute, se transformă în secunde ($1\min =60\mathrm{s}$) înainte de calcul. Un control rapid al rezultatului este semnul: dacă viteza scade, iar mobilul se mișcă în sensul pozitiv al axei, accelerația trebuie să iasă negativă; un semn care contrazice sensul schimbării vitezei arată că a fost inversată diferența $v_f-v_i$.

Exemplu în formatul examenului. Viteza unui mobil care se mișcă pe o axă trece uniform de la $+12m/s$ la $-8m/s$ în $5\mathrm{s}$. Accelerația medie a mobilului este:

• a) $-0,8m/{\mathrm{s}}^2$
• b) $+4m/{\mathrm{s}}^2$
• c) $-4m/{\mathrm{s}}^2$
• d) $-20m/{\mathrm{s}}^2$

Rezolvare.

1. Variația vitezei, cu semn: $\Delta v=v_f-v_i=-8-12=-20m/s$.
2. Accelerația medie: $a=\Delta v/\Delta t=-20/5=-4m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Varianta a) rezultă din scăderea modulelor ($8-12=-4$, apoi $-4/5$), varianta b) din semnul schimbat, iar varianta d) din uitarea împărțirii la durată.

Răspuns corect: c)

Greșeli frecvente

• Greșit: numai creșterea modulului vitezei înseamnă accelerație.
  Corect: orice schimbare a vectorului viteză, inclusiv schimbarea direcției, înseamnă accelerație.
• Greșit: o accelerație negativă înseamnă întotdeauna frânare.
  Corect: semnul depinde de axa aleasă; corpul încetinește când viteza și accelerația au semne opuse.
• Greșit: viteza și accelerația au aceeași unitate.
  Corect: viteza se măsoară în $m/s$, accelerația în $m/{\mathrm{s}}^2$.
• Greșit: dacă viteza este zero într-un moment, și accelerația este zero în acel moment.
  Corect: o minge aruncată în sus are viteza zero în punctul cel mai înalt, dar accelerația ei rămâne $g$, orientată în jos.

Înainte și după