Poziție, distanță și deplasare

Pe culoarul unei școli, ușa clasei, cantina și biblioteca sunt trei locuri diferite. Ca să spunem unde se află un elev, alegem un punct de plecare numit origine și o direcție pozitivă: culoarul devine o axă, iar locul elevului este dat de un număr cu unitate de măsură, poziția (coordonata) $x$, în metri. Dacă originea este intrarea în școală, ușa clasei se află la $x=12\mathrm{m}$, cantina la $x=30\mathrm{m}$ și biblioteca la $x=6\mathrm{m}$.

Când studiem mișcarea, ne interesează doar locul în care se află corpul, nu și forma lui. Un tren de $200\mathrm{m}$ lungime care străbate $300\mathrm{km}$ poate fi privit ca un punct material, adică un corp ale cărui dimensiuni se pot neglija față de distanțele parcurse. Același tren, în timpul manevrei într-o gară mică, nu mai poate fi redus la un punct.

Două mărimi descriu schimbarea locului. Distanța parcursă $d$ este lungimea drumului făcut, adunată pe toate porțiunile, și nu este niciodată negativă. Deplasarea $\Delta x=x_{\mathrm{final}}-x_{\mathrm{ini}\mathrm{ț}\mathrm{ial}}$ compară doar locul de sosire cu cel de plecare și are sens, deci poate fi pozitivă sau negativă.

Exemplu rezolvat. Elevul pleacă de la ușa clasei ($x=12\mathrm{m}$), merge până la cantină ($x=30\mathrm{m}$), apoi până la bibliotecă ($x=6\mathrm{m}$). Prima porțiune are $30-12=18\mathrm{m}$, a doua $30-6=24\mathrm{m}$, deci $d=18+24=42\mathrm{m}$. Deplasarea este $\Delta x=6-12=-6\mathrm{m}$: elevul se află la $6\mathrm{m}$ de punctul de plecare, în sensul negativ al axei.

Un lift arată același lucru pe verticală. Cu parterul în origine și axa îndreptată în sus, liftul urcă $9\mathrm{m}$ până la etajul 3 (fiecare etaj are $3\mathrm{m}$), apoi coboară $12\mathrm{m}$ până în subsol, la $x=-3\mathrm{m}$. Distanța este $9+12=21\mathrm{m}$, iar deplasarea este $-3-0=-3\mathrm{m}$. Semnul minus nu face distanța „negativă”; el spune doar că locul final este sub origine.

Dacă începi și te oprești în același loc, deplasarea este zero, oricât de lungi au fost drumurile intermediare.

Un alergător care face un tur complet al stadionului de 400 m parcurge distanța de 400 m, dar are deplasarea zero.

În plan sau în spațiu, poziția unui punct material este dată de vectorul de poziție $\vec{r}$, cu originea în originea sistemului de coordonate și vârful în punct. În plan, $\vec{r}=(x;y)$, iar modulul este $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Vectorul deplasare este $\Delta \vec{r}={\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i$, cu începutul în poziția inițială și vârful în cea finală. Componentele lui sunt $\Delta x=x_f-x_i$ și $\Delta y=y_f-y_i$, iar $|\Delta \vec{r}|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$.

Poziția depinde de originea aleasă, dar deplasarea nu: dacă originea se mută, ambele poziții se schimbă cu aceeași valoare și diferența lor rămâne aceeași. Dacă însă se inversează sensul pozitiv al axei, semnul deplasării se schimbă. Deplasarea se măsoară în metri, ca orice lungime. Distanța parcursă se notează $d$ sau $s$, iar modulul deplasării $|\Delta \vec{r}|$ sau $\Delta r$; în mișcarea pe o axă, $|\Delta x|$ este modulul deplasării. Între distanța parcursă și modulul deplasării există relația $|\Delta \vec{r}|\le d$, cu egalitate numai când mișcarea este rectilinie și are un singur sens. Pe o traiectorie închisă, $\Delta \vec{r}=\vec{0}$. Deplasarea este vector pentru că nu ajunge să știm cât de departe a ajuns corpul, ci și în ce direcție: două deplasări de același modul, una spre est și alta spre nord, duc corpul în locuri diferite. Deplasările succesive se adună vectorial: $\Delta {\vec{r}}_{\mathrm{total}}=\Delta {\vec{r}}_1+\Delta {\vec{r}}_2$.

Convenția de semn pe o axă: $\Delta x>0$ înseamnă deplasare în sensul pozitiv ales, $\Delta x<0$ înseamnă deplasare în sens contrar, iar $\Delta x=0$ înseamnă că poziția finală coincide cu cea inițială. În plan, sensul unui vector se precizează prin unghiul făcut cu axa $Ox$ sau prin componente. Deplasarea este legată de viteză prin ${\vec{v}}_{\mathrm{med}}=\Delta \vec{r}/\Delta t$: viteza medie are aceeași direcție și același sens ca deplasarea. Modelul de punct material se aplică atunci când dimensiunile corpului sunt mici față de distanțele parcurse: la un autoturism care străbate $100\mathrm{km}$, lungimea de $4\mathrm{m}$ se neglijează, dar nu și la parcarea lui între două mașini.

Exemplu rezolvat 1. O navă pleacă din punctul $A(-2;1)$ și ajunge în $B(4;9)$, coordonatele fiind date în kilometri, cu axa $Ox$ spre est și axa $Oy$ spre nord.

1. Componentele deplasării sunt $\Delta x=4-(-2)=6\mathrm{km}$ și $\Delta y=9-1=8\mathrm{km}$.
2. Modulul deplasării este $|\Delta \vec{r}|=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{km}$.
3. Direcția față de axa $Ox$ este dată de $\mathrm{tg}\alpha =8/6=4/3$, deci $\alpha \approx 53^{\circ }$, spre nord-est.

Dacă nava a mers în linie dreaptă, distanța parcursă este tot $10\mathrm{km}$.

Exemplu rezolvat 2. Un autoturism pornește de la kilometrul $120$ al unui drum național, merge până la kilometrul $180$, apoi se întoarce până la kilometrul $150$. Sensul pozitiv este sensul de creștere a kilometrilor.

1. Deplasarea este $\Delta x=150-120=+30\mathrm{km}$.
2. Distanța parcursă este $|180-120|+|150-180|=60+30=90\mathrm{km}$.
3. Dacă originea se mută la kilometrul $100$, pozițiile devin $20$, $80$ și $50\mathrm{km}$, iar $\Delta x=50-20=+30\mathrm{km}$, la fel ca înainte.

Deplasarea de $30\mathrm{km}$ este mai mică decât distanța de $90\mathrm{km}$, iar valoarea ei nu depinde de originea aleasă.

La problemele cu traiectorii curbe, distanța este lungimea arcului, iar modulul deplasării este lungimea coardei dintre capete: pentru o semicircumferință, coarda este diametrul, iar pentru o circumferință completă, deplasarea este zero. La două deplasări de module ${\ell }_1$ și ${\ell }_2$, modulul rezultantei are limitele $|{\ell }_1-{\ell }_2|\le |\Delta \vec{r}|\le {\ell }_1+{\ell }_2$: pentru $3\mathrm{m}$ și $4\mathrm{m}$ el este între $1\mathrm{m}$ și $7\mathrm{m}$, iar $5\mathrm{m}$ pentru deplasări perpendiculare. Dacă pozițiile sunt date în sisteme cu origini diferite, se trece mai întâi totul într-un singur sistem. Când mobilul se întoarce, drumul se împarte pe porțiuni cu sens constant, ale căror lungimi se adună, în timp ce deplasarea se află numai din poziția finală și cea inițială. Distanța nu se poate afla numai din capete atunci când mobilul își schimbă sensul, deoarece depinde de traiectorie. Capcane: adunarea modulelor în locul vectorilor, confundarea razei cu diametrul și raportarea modulului deplasării cu semn.

Exemplu în formatul examenului. Un mobil parcurge o semicircumferință cu raza $R=3\mathrm{m}$, de la un capăt al diametrului la celălalt. Se ia $\pi =3,14$. Distanța parcursă și modulul deplasării sunt, în această ordine:

• a) $6\mathrm{m}$ și $9,42\mathrm{m}$
• b) $9,42\mathrm{m}$ și $3\mathrm{m}$
• c) $18,84\mathrm{m}$ și $6\mathrm{m}$
• d) $9,42\mathrm{m}$ și $6\mathrm{m}$

Rezolvare.

1. Distanța parcursă este lungimea semicercului: $d=\pi R=3,14\cdot 3=9,42\mathrm{m}$.
2. Capetele semicercului sunt capetele unui diametru, deci $|\Delta \vec{r}|=2R=6\mathrm{m}$.
3. Varianta a) inversează cele două mărimi, varianta b) ia raza drept deplasare, iar varianta c) folosește lungimea cercului întreg, $2\pi R$.

Răspuns corect: d)

Greșeli frecvente

• Greșit: deplasarea se calculează adunând lungimile tuturor porțiunilor drumului.
  Corect: deplasarea este $x_f-x_i$ pe o axă, iar distanța este suma lungimilor porțiunilor.
• Greșit: un semn minus la deplasare înseamnă un „drum negativ”.
  Corect: semnul minus arată doar sensul deplasării față de sensul pozitiv al axei; distanța parcursă nu este negativă.
• Greșit: deplasarea depinde de punctul în care se pune originea axei.
  Corect: poziția depinde de origine, dar deplasarea nu, pentru că ambele poziții se schimbă cu aceeași valoare.
• Greșit: modulul deplasării poate fi mai mare decât distanța parcursă.
  Corect: $|\Delta \vec{r}|\le d$; cea mai scurtă cale între două puncte este segmentul care le unește.

Înainte și după