Reperul și traiectoria

Stai pe scaun într-un autobuz. Față de scaun nu te miști, dar față de un copac de pe marginea drumului te deplasezi. Nu este o contradicție: mișcarea și repausul se stabilesc întotdeauna față de un corp ales ca reper. Un corp se mișcă față de reper dacă își schimbă poziția în timp față de el, și este în repaus față de reper dacă poziția lui rămâne aceeași. Copacul poate fi reper pentru drumul autobuzului; scaunul, pentru locul tău în autobuz.

Pentru o descriere precisă alegem un sistem de referință: un reper, o axă sau mai multe axe cu care indicăm pozițiile și un ceas cu care măsurăm timpul. Corpul a cărui mișcare o studiem se numește mobil. Un coleg de pe peron și unul din tren descriu diferit aceeași persoană care merge prin vagon, deoarece folosesc repere diferite, iar fiecare are dreptate în sistemul lui.

Exemplu rezolvat. Un tren merge cu $15m/s$ față de peron, iar un pasager stă pe scaun $10\min$. Față de scaun, pasagerul nu își schimbă poziția, deci a parcurs $0\mathrm{m}$. Față de peron, durata este $10\min =600\mathrm{s}$, iar distanța este $d=v\cdot t=15m/s\cdot 600\mathrm{s}=9000\mathrm{m}=9\mathrm{km}$. Același pasager este în repaus față de tren și în mișcare față de peron.

Linia pe care o urmează mobilul în timpul mișcării se numește traiectorie. O bicicletă care merge pe un drum drept are față de drum o traiectorie rectilinie. Dacă ea ocolește un sens giratoriu, traiectoria este curbilinie, un arc de cerc. Traiectoria nu este totuna cu lungimea drumului: traiectoria arată forma liniei pe care a trecut mobilul, iar lungimea spune cât de lungă este porțiunea parcursă.

Forma traiectoriei depinde de reper. Ventilul unei roți de bicicletă descrie un cerc față de axul roții, dar o curbă ondulată față de drum. O singură fotografie nu spune dacă un corp se mișcă: sunt necesare cel puțin două poziții, la momente diferite, față de același reper.

Înainte de a spune „se mișcă”, întreabă-te: față de ce? Întrebarea clarifică multe situații din trafic, din sport și din viața de zi cu zi.

Un sistem de referință este format din corpul de referință, un sistem de coordonate legat rigid de el (de exemplu $Oxy$) și un ceas. Poziția mobilului la momentul $t$ este dată de coordonatele $x(t)$, $y(t)$, adică de legea mișcării. Traiectoria este mulțimea pozițiilor succesive ale mobilului în acel sistem; ecuația ei se obține eliminând timpul din ecuațiile $x(t)$ și $y(t)$. Aceeași mișcare are traiectorii diferite în sisteme de referință care se mișcă unul față de altul.

Modelul de punct material înlocuiește corpul cu un punct având masa corpului; el se folosește când dimensiunile corpului sunt neglijabile față de distanțele parcurse sau față de distanțele până la alte corpuri. Pentru rotația unei roți sau pentru parcarea unui autoturism, dimensiunile contează și modelul nu mai este potrivit. Odată ales sistemul de referință, orice mărime cinematică (poziție, deplasare, viteză) se raportează la el.

Numărul de axe depinde de traiectorie: pe una rectilinie este suficientă o axă $Ox$, într-un plan se folosesc două axe, iar în spațiu trei, $Ox$, $Oy$ și $Oz$. Originea și sensurile pozitive se aleg astfel încât calculul să fie cât mai simplu: pentru o mișcare pe o dreaptă, axa se orientează de-a lungul ei, iar originea se pune în poziția de plecare. Repausul și mișcarea sunt relative, însă poziția, viteza și traiectoria într-un sistem dat sunt perfect determinate. Pământul are față de Soare viteza orbitală de circa $3\cdot 10^{4}m/s$, iar un om din cameră este în repaus față de podea; ambele afirmații sunt corecte, fiecare în sistemul ei.

Exemplu rezolvat 1. Poziția unei bile aruncate este dată, în unități SI, de $x=2t$ și $y=5t-5t^2$. Se află ecuația traiectoriei și poziția la $t=0,5\mathrm{s}$.

1. Din prima ecuație, $t=x/2$.
2. Înlocuim în a doua: $y=5\cdot \frac{x}{2}-5\cdot \frac{x^2}{4}=2,5x-1,25x^2$, deci traiectoria este o parabolă.
3. La $t=0,5\mathrm{s}$, $x=2\cdot 0,5=1\mathrm{m}$ și $y=5\cdot 0,5-5\cdot 0,25=1,25\mathrm{m}$, în acord cu ecuația traiectoriei: $2,5-1,25=1,25\mathrm{m}$.

Bila se află la $0,5\mathrm{s}$ în punctul $(1\mathrm{m};1,25\mathrm{m})$.

Exemplu rezolvat 2. Dintr-un tren care merge orizontal cu $20m/s$ față de peron cade un obiect desprins de la înălțimea de $1,25\mathrm{m}$ față de podea. Se compară traiectoriile în cele două repere, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Față de tren, obiectul are doar mișcarea de cădere: traiectoria este un segment vertical de $1,25\mathrm{m}$, parcurs în $t=\sqrt{2\cdot 1,25/10}=0,5\mathrm{s}$.
2. Față de peron, în același timp mobilul înaintează orizontal $20\cdot 0,5=10\mathrm{m}$, iar legea mișcării este $x=20t$, $y=1,25-5t^2$, de unde $y=1,25-x^2/80$.
3. Verificare: pentru $x=10\mathrm{m}$, $y=1,25-100/80=0\mathrm{m}$, adică obiectul atinge podeaua.

Aceeași cădere este o dreaptă pentru pasager și o parabolă pentru observatorul de pe peron.

Greșeli frecvente

• Greșit: un corp este „în repaus” sau „în mișcare” fără a preciza nimic altceva.
  Corect: repausul și mișcarea se stabilesc numai față de un reper precizat.
• Greșit: traiectoria este același lucru cu distanța parcursă.
  Corect: traiectoria este linia pe care trece mobilul, iar distanța este lungimea porțiunii parcurse pe ea.
• Greșit: forma traiectoriei este aceeași pentru toți observatorii.
  Corect: traiectoria depinde de sistemul de referință; un obiect scăpat dintr-un tren cade vertical față de tren și pe o parabolă față de peron.
• Greșit: un corp mare nu poate fi tratat ca punct material.
  Corect: modelul de punct material depinde de problemă; o navă de $300\mathrm{m}$ lungime care traversează un ocean poate fi considerată un punct material, dar nu și în timpul acostării.

Înainte și după