Mișcarea rectilinie uniform variată

În mișcarea rectilinie uniform variată, accelerația rămâne constantă pe o traiectorie dreaptă. Viteza se modifică cu aceeași valoare în intervale de timp egale. Când mobilul pornește din repaus și accelerează în sensul mișcării, distanțele parcurse în intervale egale și succesive sunt în raportul $1:3:5:\dots$.

Consideră un mobil a cărui viteză este $0m/s$ inițial, $2m/s$ după $1\mathrm{s}$ și $4m/s$ după $2\mathrm{s}$. Viteza crește cu $2m/s$ în fiecare secundă, deci accelerația constantă este $2m/{\mathrm{s}}^2$. Graficul viteză–timp este o dreaptă înclinată; la frânare uniformă, panta are semn opus vitezei inițiale.

Nu presupune că „uniform” înseamnă aici viteză constantă. În mișcarea uniformă rămâne constantă viteza; în mișcarea uniform variată rămâne constantă accelerația. Aceasta este diferența pe care merită să o verifici înainte de orice calcul.

Viteza la momentul $t$ este $v=v_0+at$. Pe graficul viteză–timp, panta dreptei este accelerația, iar aria cu semn dintre dreaptă și axa timpului este deplasarea. În trafic, pornirea sau frânarea se descriu astfel pe intervalele în care accelerația rămâne constantă.

Pe o axă $Ox$ orientată, mișcarea cu accelerație constantă $a_x=a$ are viteza $v=v_0+at$. Viteza medie pe un interval este media aritmetică a vitezelor de la capete, $v_m=(v_0+v)/2$, pentru că $v(t)$ este o dreaptă. Deplasarea pe intervalul $[0;t]$ este $\Delta x=v_{m}t=v_{0}t+a{t}^2/2$, deci legea mișcării este $x=x_0+v_{0}t+a{t}^2/2$. Eliminând $t$ între cele două relații se obține $v^2=v_0^2+2a\Delta x$, care nu conține timpul. Mărimile $v_0$, $v$, $a$ și $\Delta x$ se introduc cu semn, față de sensul pozitiv ales. Relațiile se aplică pe intervale cu accelerație constantă; când accelerația se schimbă (de pildă, de la accelerare la frânare), problema se împarte în porțiuni, iar viteza finală a unei porțiuni este viteza inițială a următoarei.

Graficul $x(t)$ este un arc de parabolă, cu concavitatea în sus pentru $a>0$ și în jos pentru $a<0$; graficul $v(t)$ este o dreaptă cu panta $a$, iar graficul $a(t)$ este un segment paralel cu axa timpului, a cărui arie până la axă este variația vitezei, $\Delta v=a\Delta t$. Pornind din repaus, spațiul parcurs în a $n$-a secundă este $\Delta x_n=x(n)-x(n-1)=a(2n-1)/2$, deci raportul spațiilor din secundele succesive este $1:3:5:7:\dots$. Dacă $v_0$ și $a$ au semne opuse, mobilul se oprește la $t_{\mathrm{oprire}}=v_0/|a|$ și apoi își schimbă sensul; din acel moment distanța parcursă și deplasarea diferă.

Aria de sub graficul $v(t)$ dă deplasarea: pentru o dreaptă care urcă de la $2m/s$ la $8m/s$ în $2\mathrm{s}$, trapezul are aria $(2+8)\cdot 2/2=10\mathrm{m}$, același rezultat ca în $v_{0}t+a{t}^2/2=2\cdot 2+3\cdot 2^2/2=10\mathrm{m}$, cu $a=(8-2)/2=3m/{\mathrm{s}}^2$. Porțiunile de grafic aflate sub axa timpului au aria cu semn minus. Cazuri-limită: pentru $a=0$ relațiile devin cele ale mișcării uniforme; pentru $v_0=0$ rămân $\Delta x=a{t}^2/2$ și $v=\sqrt{2a\Delta x}$. Ordine de mărime: un autoturism frânează pe asfalt uscat cu $6$–$8m/{\mathrm{s}}^2$, iar un corp în cădere liberă are $9,8m/{\mathrm{s}}^2$.

Exemplu rezolvat 1. Un mobil pleacă din origine cu $v_0=10m/s$ în sensul pozitiv și are accelerația constantă $a=-4m/{\mathrm{s}}^2$. Se află poziția și distanța parcursă după $5\mathrm{s}$.

1. Mobilul se oprește când $v=0$, adică la $t=v_0/|a|=10/4=2,5\mathrm{s}$, la $x=10\cdot 2,5-4\cdot 2,5^2/2=12,5\mathrm{m}$.
2. La $t=5\mathrm{s}$, poziția este $x=10\cdot 5-4\cdot 5^2/2=50-50=0\mathrm{m}$, iar viteza $v=10-4\cdot 5=-10m/s$.
3. Distanța parcursă este suma celor două drumuri: $12,5+12,5=25\mathrm{m}$.

Deplasarea este $0\mathrm{m}$, iar distanța este $25\mathrm{m}$: mobilul s-a întors în origine, cu viteza de același modul, dar de sens opus.

Exemplu rezolvat 2. Un avion pornește din repaus și accelerează uniform cu $a=2,5m/{\mathrm{s}}^2$ pe pistă până la viteza de decolare $70m/s$. Se află durata rulării și lungimea pistei folosite.

1. Durata rezultă din $v=at$: $t=70/2,5=28\mathrm{s}$.
2. Lungimea folosită rezultă din $v^2=2a\Delta x$: $\Delta x=70^2/(2\cdot 2,5)=4900/5=980\mathrm{m}$.
3. Verificare cu legea mișcării: $\Delta x=a{t}^2/2=2,5\cdot 28^2/2=980\mathrm{m}$.

Pista trebuie să aibă cel puțin $980\mathrm{m}$ în acest model, cu accelerație constantă.

Formula se alege după mărimea care lipsește. Fără timp se folosește $v^2=v_0^2+2a\Delta x$; fără accelerație, $\Delta x=(v_0+v)t/2$; fără viteza finală, $\Delta x=v_{0}t+a{t}^2/2$. Dintr-o lege dată, de exemplu $x=5+3t-t^2$ în unități SI, se citesc direct $x_0=5\mathrm{m}$, $v_0=3m/s$ și $a=-2m/{\mathrm{s}}^2$, deoarece coeficientul lui $t^2$ este $a/2$. La problemele de frânare se cer timpul de oprire $v_0/|a|$ și distanța de oprire $v_0^2/(2|a|)$, iar dacă frânarea se încheie la oprire (frecarea nu inversează mișcarea), relațiile se aplică doar până la $t_{\mathrm{oprire}}$, iar după acest moment mobilul rămâne în repaus. Vitezele din $km/h$ se convertesc în $m/s$ înainte de a fi înlocuite. Pe un grafic $v(t)$ format din segmente, accelerația pe fiecare segment este panta lui, iar deplasarea totală este suma ariilor cu semn ale trapezelor și triunghiurilor.

Exemplu în formatul examenului. Un automobil se deplasează rectiliniu cu viteza de $72km/h$ și frânează uniform, cu accelerația de modul $4m/{\mathrm{s}}^2$, până la oprire. Distanța parcursă în timpul frânării este:

• a) $100\mathrm{m}$
• b) $648\mathrm{m}$
• c) $50\mathrm{m}$
• d) $400\mathrm{m}$

Rezolvare.

1. Convertim viteza: $v_0=72/3,6=20m/s$.
2. La oprire $v=0$, deci din $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ rezultă $\Delta x=v_0^2/(2|a|)$.
3. Calculăm: $\Delta x=20^2/(2\cdot 4)=400/8=50\mathrm{m}$.
4. Varianta a) uită factorul $2$ din numitor, varianta b) introduce $72$ fără conversie ($72^2/8$), iar varianta d) uită să împartă la $2|a|$.

Răspuns corect: c)

Greșeli frecvente

• Greșit: în mișcarea uniform variată viteza este constantă.
  Corect: accelerația este constantă, iar viteza variază liniar cu timpul.
• Greșit: legea mișcării $x=x_0+vt$ se aplică și la mișcarea accelerată.
  Corect: la accelerație constantă, legea este $x=x_0+v_{0}t+a{t}^2/2$.
• Greșit: la frânare, pe axa orientată în sensul mișcării, $a>0$.
  Corect: viteza scade, deci $a<0$ pe acea axă; modulul accelerației este $|a|$.
• Greșit: formula $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ dă distanța parcursă chiar dacă mobilul își schimbă sensul.
  Corect: ea dă deplasarea; după schimbarea sensului, distanța parcursă se calculează pe porțiuni.

Înainte și după