Mișcarea rectilinie uniformă

Banda rulantă de la aeroport duce un pasager înainte cu aceeași viteză, în linie dreaptă, de la un capăt la celălalt. Mișcarea lui, cât stă nemișcat pe bandă, este o mișcare rectilinie uniformă: „rectilinie” înseamnă că traiectoria este o dreaptă, iar „uniformă” înseamnă că viteza rămâne constantă, cu aceeași valoare și același sens în orice moment. Dacă banda are viteza $0,5m/s$, pasagerul înaintează $0,5\mathrm{m}$ în prima secundă, $1\mathrm{m}$ în două secunde, $1,5\mathrm{m}$ în trei secunde: distanțele parcurse în intervale de timp egale sunt egale.

Din definiția vitezei rezultă distanța parcursă $d=v\cdot t$ și durata $t=d/v$. Dacă pasagerul trebuie să parcurgă $30\mathrm{m}$, el are nevoie de $t=30\mathrm{m}/0,5m/s=60\mathrm{s}$. Mărimile se scriu în aceleași unități: dacă viteza este în $m/s$, durata este în secunde, iar distanța în metri.

Pentru a spune unde se află mobilul la un moment dat, ne trebuie și locul de pornire. Notăm cu $x_0$ poziția la momentul $t=0$ și cu $v$ viteza. Poziția la momentul $t$ este dată de legea mișcării: $x=x_0+v\cdot t$.

Exemplu rezolvat. Un copil merge pe o alee dreaptă cu viteza constantă de $1,5m/s$, pornind de la un stâlp aflat la $x_0=10\mathrm{m}$ de capătul aleii (originea axei), în sensul pozitiv al axei. După $8\mathrm{s}$, poziția lui este $x=10+1,5\cdot 8=22\mathrm{m}$, deci a parcurs $1,5\cdot 8=12\mathrm{m}$.

Mișcarea se poate desena. Pe graficul poziție–timp punctele $(t;x)$ sunt așezate pe o dreaptă, care pornește de la înălțimea $x_0$ pe axa poziției; cu cât dreapta este mai înclinată, cu atât viteza este mai mare. Pe graficul viteză–timp, viteza constantă se vede ca un segment orizontal, iar aria dreptunghiului dintre segment și axa timpului, $v\cdot t$, este chiar distanța parcursă.

Mișcarea uniformă este o aproximare. Un tren pornește, accelerează, apoi menține viteza pe porțiunea dreaptă, iar la oprire frânează. Formulele de mai sus se aplică doar pe porțiunea în care viteza rămâne neschimbată. Când citești o problemă, verifică mai întâi dacă enunțul spune „cu viteză constantă”.

Pe o axă $Ox$ orientată, viteza constantă are proiecția $v_x=\Delta x/\Delta t$, iar semnul ei arată sensul: $v_x>0$ înseamnă mișcare în sensul pozitiv al axei, $v_x<0$ în sensul contrar. De aici, dacă ceasul pornește la $t_0=0$, legea mișcării este $x(t)=x_0+v_{x}t$; dacă ceasul nu pornește la zero, $x(t)=x_0+v_x(t-t_0)$. Pentru o mișcare uniformă, viteza medie pe orice interval este egală cu viteza instantanee, iar accelerația este $a=0m/{\mathrm{s}}^2$.

Graficul $x(t)$ este o dreaptă a cărei pantă este $v_x$, cu unitatea $m/s$; panta negativă înseamnă că poziția scade. Ordonata la origine este $x_0$. Graficul $v_x(t)$ este o dreaptă paralelă cu axa timpului, iar aria cu semn dintre ea și axa timpului, $v_x\Delta t$, este deplasarea $\Delta x$ pe intervalul respectiv. Distanța parcursă este modulul acestei deplasări numai dacă sensul nu se schimbă; la o mișcare uniformă el nu se schimbă niciodată.

Un tabel de date indică o mișcare uniformă dacă raportul $\Delta x/\Delta t$ are aceeași valoare pentru orice pereche de momente: la $t=0;2;4\mathrm{s}$, pozițiile $3;9;15\mathrm{m}$ dau de fiecare dată $3m/s$. Mișcarea uniformă este un model: un automobil pe o autostradă dreaptă, cu vitezometrul fix la $30m/s$, o aproximează bine pe intervale scurte, iar măsurătorile reale arată mici variații, tratate în lecțiile despre erori de măsurare. Alegerea sensului pozitiv nu schimbă fizica: la inversarea axei se schimbă semnele lui $x_0$ și $v_x$, dar distanțele rămân aceleași. Pe un grafic $x(t)$ cu mai multe drepte, dreapta mai înclinată corespunde unei viteze cu modul mai mare, iar dreptele paralele corespund unor viteze egale. Un grafic $v_x(t)$ cu două drepte orizontale, una cu $v_x>0$ și alta cu $v_x<0$, descrie două mobile care se mișcă în sensuri opuse; aria dintre fiecare dreaptă și axa timpului dă deplasarea mobilului respectiv, pozitivă sau negativă.

Exemplu rezolvat 1. Un mobil se află la $x_0=25\mathrm{m}$ și se mișcă uniform spre origine cu viteza $5m/s$. Se află poziția lui la $3\mathrm{s}$ și momentul în care trece prin origine.

1. Mobilul se mișcă în sensul negativ al axei, deci $v_x=-5m/s$, iar legea mișcării este $x=25-5t$.
2. La $t=3\mathrm{s}$, poziția este $x=25-5\cdot 3=10\mathrm{m}$.
3. Trece prin origine când $x=0$, adică $25-5t=0$, deci $t=25/5=5\mathrm{s}$.

În cele $5\mathrm{s}$, distanța parcursă este $25\mathrm{m}$, egală cu modulul deplasării.

Exemplu rezolvat 2. Graficul $x(t)$ al unui mobil este o dreaptă ce trece prin punctele $(2\mathrm{s};7\mathrm{m})$ și $(6\mathrm{s};-1\mathrm{m})$. Se află legea mișcării.

1. Viteza este panta dreptei: $v_x=(-1-7)\mathrm{m}/(6-2)\mathrm{s}=-2m/s$.
2. Poziția inițială rezultă din punctul de la $2\mathrm{s}$: $x_0=7-(-2)\cdot 2=11\mathrm{m}$.
3. Legea mișcării este $x=11-2t$, iar mobilul trece prin origine la $t=11/2=5,5\mathrm{s}$.

Verificare: la $t=6\mathrm{s}$, $x=11-12=-1\mathrm{m}$, ca în al doilea punct.

Problemele de întâlnire și de urmărire se rezolvă cu aceeași origine și același ceas pentru ambele mobile: se scrie câte o lege $x_i(t)$ și se pune condiția $x_1(t)=x_2(t)$. Mobilele care se apropie își adună vitezele, iar cele care se urmăresc pe același sens își scad vitezele; condiția de întâlnire apare pe grafic ca intersecția celor două drepte $x(t)$. Un timp negativ sau mai mare decât durata mișcării arată că mobilele nu se întâlnesc în intervalul dat. La trecerea unui tren de lungime $\ell$ printr-un tunel de lungime $L$, drumul parcurs de locomotivă este $L+\ell$: un tren de $200\mathrm{m}$ cu $20m/s$ trece complet printr-un tunel de $600\mathrm{m}$ în $(600+200)/20=40\mathrm{s}$.

Exemplu în formatul examenului. Localitățile A și B sunt la $90\mathrm{km}$ distanță. În același moment, din A pleacă spre B un biciclist cu $20km/h$, iar din B pleacă spre A un alt biciclist cu $25km/h$, ambii cu viteză constantă. Bicicliștii se întâlnesc după un timp și la o distanță de A egale, în această ordine, cu:

• a) $2\mathrm{h}$ și $40\mathrm{km}$
• b) $2\mathrm{h}$ și $50\mathrm{km}$
• c) $18\mathrm{h}$ și $360\mathrm{km}$
• d) $4,5\mathrm{h}$ și $90\mathrm{km}$

Rezolvare.

1. Cu originea în A și axa spre B, legile mișcării sunt $x_1=20t$ și $x_2=90-25t$, cu $x$ în kilometri și $t$ în ore.
2. La întâlnire $x_1=x_2$, adică $20t=90-25t$, deci $t=90/45=2\mathrm{h}$.
3. Distanța de A este $x_1=20\cdot 2=40\mathrm{km}$.
4. Varianta b) măsoară distanța de la B, varianta c) scade vitezele ($90/5=18\mathrm{h}$) ca la urmărire, iar varianta d) folosește numai viteza primului biciclist ($90/20=4,5\mathrm{h}$).

Răspuns corect: a)

Greșeli frecvente

• Greșit: formula $d=vt$ se aplică pe tot traseul, inclusiv la pornire și la frânare.
  Corect: formula este valabilă numai pe porțiunea în care viteza rămâne constantă.
• Greșit: legea mișcării este $x=vt$, indiferent de locul de pornire.
  Corect: legea este $x=x_0+vt$, iar $x_0$ este poziția la momentul $t=0$.
• Greșit: în ecuațiile a două mobile se folosesc origini sau sensuri pozitive diferite.
  Corect: ambele mobile se descriu în același reper, cu aceeași origine și același ceas.
• Greșit: o dreaptă care coboară pe graficul $x(t)$ înseamnă că mobilul încetinește.
  Corect: panta negativă arată o viteză constantă în sensul negativ al axei; mobilul încetinește doar dacă panta se micșorează în modul.

Înainte și după