Căderea liberă și aruncarea verticală

Un corp lăsat să cadă capătă viteză sub acțiunea gravitației. În fizică, căderea liberă este modelul în care asupra corpului acționează doar greutatea lui. Într-o cameră din care s-a scos aerul, o piatră și o pană cad la fel de repede; același lucru au arătat astronauții Apollo 15 pe Lună, în 1971, unde ciocanul și pana au atins solul în același moment. În aer, o foaie de hârtie cade mult mai încet decât o piatră, pentru că rezistența aerului nu mai poate fi neglijată.

Aproape de suprafața Pământului, accelerația gravitațională are valoarea $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$; în probleme se folosește deseori $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, valoare pe care enunțul o precizează. Aceasta înseamnă că, în căderea liberă, viteza spre jos crește cu $9,8m/s$ în fiecare secundă, indiferent de masa corpului.

Un corp aruncat vertical în sus nu scapă de gravitație. În timp ce urcă, viteza lui scade; în punctul cel mai înalt este, pentru o clipă, $0m/s$, apoi corpul coboară. Accelerația este aceeași pe tot traseul: $g$, orientată în jos, inclusiv în punctul cel mai înalt. Dacă sensul pozitiv se alege în sus, accelerația este $-g$ tot timpul.

Mișcarea ascendentă și cea descendentă sunt simetrice: corpul revine în punctul de lansare cu aceeași viteză (ca valoare) cu care a plecat, iar urcarea durează cât coborârea. Modelul descrie bine mișcarea când rezistența aerului se poate neglija, de pildă la o bilă de oțel; el nu se aplică unei parașute sau unei pene, unde aerul contează.

Cu axa $Oy$ orientată în sus, accelerația este $a_y=-g$ în orice moment, la urcare, în vârf și la coborâre. Pentru poziția inițială $y_0$ și viteza inițială $v_0$ (pozitivă în sus, negativă în jos), ecuațiile mișcării uniform variate devin $v_y=v_0-gt$ și $y=y_0+v_{0}t-g{t}^2/2$, la care se adaugă $v_y^2=v_0^2-2g(y-y_0)$. Din $v_y=0$ rezultă timpul urcării $t_u=v_0/g$ și înălțimea maximă față de punctul de lansare $h_{\max }=v_0^2/(2g)$. Revenirea la nivelul de lansare are loc la $t=2v_0/g$, cu viteza $-v_0$. Semnul vitezei arată sensul mișcării: $v_y>0$ la urcare, $v_y=0$ în vârf, $v_y<0$ la coborâre. Urcarea și coborârea durează la fel, deoarece parabola $y(t)$ este simetrică față de momentul $t_u$.

Pentru căderea liberă din repaus de la înălțimea $h$, fără viteză inițială: $t=\sqrt{2h/g}$ și $v=\sqrt{2gh}$. Distanțele parcurse în secunde succesive sunt în raportul $1:3:5:\dots$, iar ele nu depind de masa corpului. Rezultatele presupun $g$ constant (adevărat pentru înălțimi mici față de raza Pământului) și rezistență a aerului neglijabilă. Ordine de mărime, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$: de la $20\mathrm{m}$ un corp ajunge jos în $2\mathrm{s}$ cu $20m/s=72km/h$; de la $45\mathrm{m}$, în $3\mathrm{s}$ cu $108km/h$.

Aruncarea vertical în jos se tratează cu aceleași ecuații, luând $v_0<0$. Graficul $v_y(t)$ este o dreaptă cu panta $-g$ în toate cazurile, iar graficul $y(t)$ este o parabolă cu concavitatea în jos. Valoarea lui $g$ depinde ușor de loc: $9,78m/{\mathrm{s}}^2$ la ecuator, $9,83m/{\mathrm{s}}^2$ la poli și $1,6m/{\mathrm{s}}^2$ pe Lună. Cu rezistența aerului, viteza unui corp în cădere nu crește fără limită, ci se apropie de o viteză-limită: circa $55m/s$ pentru un om care cade în poziție orizontală și circa $5m/s$ cu parașuta deschisă. Pentru două corpuri aflate simultan în cădere liberă, accelerațiile sunt egale, deci mișcarea unuia față de celălalt este rectilinie uniformă.

Exemplu rezolvat 1. De pe o terasă aflată la $20\mathrm{m}$ deasupra solului se aruncă vertical în sus o piatră cu $v_0=15m/s$. Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, cu originea la sol și axa în sus.

1. Urcarea durează $t_u=15/10=1,5\mathrm{s}$, iar piatra urcă $h_{\max }=15^2/(2\cdot 10)=11,25\mathrm{m}$ deasupra terasei.
2. La sol, $y=0$: $20+15t-5t^2=0$, adică $t^2-3t-4=0$, cu rădăcinile $-1\mathrm{s}$ și $4\mathrm{s}$; se păstrează $t=4\mathrm{s}$.
3. Viteza la impact este $v_y=15-10\cdot 4=-25m/s$.

Piatra atinge solul după $4\mathrm{s}$, cu viteza de modul $25m/s$ și sensul în jos.

Exemplu rezolvat 2. Un corp este lăsat să cadă liber de la $80\mathrm{m}$. Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Durata căderii este $t=\sqrt{2\cdot 80/10}=\sqrt{16}=4\mathrm{s}$.
2. Viteza la sol are modulul $v=gt=10\cdot 4=40m/s$.
3. Corpul a căzut $5\cdot 3^2=45\mathrm{m}$ în primele $3\mathrm{s}$, deci în ultima secundă parcurge $80-45=35\mathrm{m}$.

Raportul distanțelor din cele patru secunde, $5:15:25:35$, este $1:3:5:7$, în acord cu legea de mai sus.

Se scriu axa, originea și condițiile inițiale, apoi aceeași convenție de semne în toate ecuațiile. La două corpuri aflate în cădere liberă în același moment, accelerația lor este aceeași, deci în sistemul unuia dintre ele celălalt se mișcă uniform: distanța dintre ele variază cu viteza relativă constantă, iar $g$ dispare din condiția de întâlnire. Se verifică întotdeauna dacă momentul calculat este anterior atingerii solului de către vreunul dintre corpuri. Altă capcană: înălțimea maximă se măsoară față de punctul de lansare, nu față de sol.

Exemplu în formatul examenului. Un corp este lăsat să cadă liber de la $100\mathrm{m}$, iar în același moment, de la sol, un alt corp este aruncat vertical în sus cu $50m/s$, pe aceeași verticală. Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Corpurile se întâlnesc după un timp și la o înălțime față de sol egale, în această ordine, cu:

• a) $2\mathrm{s}$ și $20\mathrm{m}$
• b) $4,5\mathrm{s}$ și $0\mathrm{m}$
• c) $5\mathrm{s}$ și $125\mathrm{m}$
• d) $2\mathrm{s}$ și $80\mathrm{m}$

Rezolvare.

1. Cu originea la sol și axa în sus: $y_1=100-5t^2$ și $y_2=50t-5t^2$.
2. La întâlnire $y_1=y_2$, deci $100=50t$ și $t=2\mathrm{s}$; termenii cu $t^2$ se reduc.
3. Înălțimea este $y=50\cdot 2-5\cdot 2^2=80\mathrm{m}$; cele două corpuri sunt încă în aer, deoarece primul ar ajunge la sol după $\sqrt{20}\approx 4,5\mathrm{s}$.
4. Varianta a) dă distanța căzută de primul corp, varianta b) este momentul atingerii solului de către primul corp, iar varianta c) folosește timpul urcării, $50/10=5\mathrm{s}$.

Răspuns corect: d)

Greșeli frecvente

• Greșit: în vârful aruncării verticale accelerația devine zero, pentru că viteza este zero.
  Corect: viteza este zero, dar accelerația rămâne $g$, orientată în jos.
• Greșit: semnul lui $g$ se schimbă între urcare și coborâre.
  Corect: cu aceeași axă (pozitivă în sus), $a_y=-g$ pe tot traseul.
• Greșit: un corp mai greu cade mai repede decât unul mai ușor, în absența aerului.
  Corect: accelerația $g$ nu depinde de masă, deci corpurile ajung simultan jos.
• Greșit: modelul căderii libere se aplică unei foi de hârtie sau unei parașute.
  Corect: pentru ele rezistența aerului este comparabilă cu greutatea, deci modelul nu se aplică.

Înainte și după