Mișcarea circulară uniformă

În mișcarea circulară uniformă, un punct descrie un cerc cu viteză scalară constantă. Poziția unghiulară se schimbă uniform în timp, însă vectorul viteză își modifică permanent direcția. Prin urmare, corpul are accelerație chiar dacă modulul vitezei rămâne neschimbat.

Timpul necesar pentru o tură completă se numește perioadă și se notează $T$; unitatea SI este secunda ($\mathrm{s}$). Numărul de ture făcute într-o secundă se numește frecvență și se notează $f$; unitatea este hertzul ($\mathrm{Hz}$). Dacă o roată face două ture într-o secundă, frecvența ei este $2\mathrm{Hz}$, iar o tură durează $0,5\mathrm{s}$. Relația este $f=1/T$.

Într-o tură, un punct de pe roată parcurge circumferința cercului. Dacă raza este $r$, lungimea unei ture este $2\pi r$, iar viteza scalară este $v=2\pi r/T$. Pentru aceeași perioadă, un punct de lângă marginea roții parcurge un cerc mai mare decât unul aproape de centru, deci are viteză scalară mai mare.

Deși modulul vitezei punctului rămâne același, viteza ca mărime cu direcție se schimbă. De aceea, mișcarea circulară uniformă are accelerație orientată spre centru. Această idee explică de ce un vehicul care virează are nevoie de aderență chiar când nu își schimbă modulul vitezei.

Poziția punctului pe cerc se descrie prin unghiul $\phi$, măsurat în radiani; un arc de lungime $s$ pe un cerc de rază $r$ corespunde unghiului $\phi =s/r$. Viteza unghiulară este $\omega =\Delta \phi /\Delta t$, constantă în această mișcare; o tură înseamnă $\Delta \phi =2\pi \mathrm{rad}$ în timpul $T$, deci $\omega =2\pi /T=2\pi f$, cu unitatea $rad/s$. Frecvența dată în rotații pe minut se transformă în hertzi prin $f=n/60$. Sensul rotației se precizează față de acele ceasornicului (în sensul lor sau în sens contrar); în mișcarea uniformă, sensul și valoarea lui $\omega$ rămân constante.

Pentru un punct aflat la distanța $r$ de axă, viteza liniară (tangențială) are modulul $v=\omega r$ și direcția tangentei la cerc în acel punct. Toate punctele unui disc care se rotește au aceeași $\omega$, $T$ și $f$, dar viteza $v$ crește proporțional cu raza. Accelerația centripetă este orientată spre centrul cercului, perpendicular pe vectorul viteză, și are modulul $a_c=v^2/r={\omega }^{2}r=4{\pi }^{2}r/T^2$. Ea modifică direcția vitezei, nu modulul. La dublarea vitezei pe aceeași rază, $a_c$ se mărește de patru ori. Cazul-limită $r\to \infty$ corespunde traiectoriei rectilinii, cu $a_c=0$.

Expresia lui $a_c$ se deduce din rotirea vectorului viteză: în intervalul $\Delta t$ el se rotește cu unghiul $\Delta \phi =\omega \Delta t$, iar pentru un unghi mic modulul variației sale este $|\Delta \vec{v}|\approx v\Delta \phi$. Rezultă $a_c=|\Delta \vec{v}|/\Delta t=v\omega =v^2/r$, cu sensul lui $\Delta \vec{v}$, adică spre centru.

Mărimile se leagă și prin $\phi =\omega t$, $s=vt$ și $N=ft$ ture în timpul $t$. Două roți legate printr-o curea fără alunecare au aceeași viteză liniară la margine, ${\omega }_1{r}_1={\omega }_2{r}_2$, deci roata mică se rotește mai repede; două roți montate pe aceeași axă au aceeași viteză unghiulară. Pentru acele unui ceas, $T_{\mathrm{minutar}}=3600\mathrm{s}$ și $T_{\mathrm{orar}}=43200\mathrm{s}$, deci ${\omega }_{\mathrm{minutar}}=12{\omega }_{\mathrm{orar}}$. Ordine de mărime: Luna, a cărei orbită este foarte apropiată de un cerc cu raza de $3,84\cdot 10^8\mathrm{m}$, are perioada de $27,3$ zile, deci $v\approx 1,0km/s$ și $a_c\approx 2,7\cdot 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$.

Exemplu rezolvat 1. O roată cu raza $r=0,40\mathrm{m}$ face $300$ de rotații pe minut, uniform. Se află perioada, viteza unui punct de pe margine și accelerația centripetă a acestuia.

1. Frecvența este $f=300/60=5\mathrm{Hz}$, iar perioada $T=1/f=0,2\mathrm{s}$.
2. Viteza unghiulară este $\omega =2\pi f=10\pi \approx 31,4rad/s$, deci $v=\omega r=31,4\cdot 0,40\approx 12,6m/s$.
3. Accelerația centripetă este $a_c={\omega }^{2}r=(10\pi {)}^2\cdot 0,40=40{\pi }^2\approx 395m/{\mathrm{s}}^2$.

Punctul de pe margine are accelerația de circa $40$ de ori mai mare decât $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

Exemplu rezolvat 2. Un punct de la ecuatorul Pământului ($R=6,4\cdot 10^6\mathrm{m}$) se rotește odată cu planeta, într-o zi de $24\mathrm{h}$ (valoare rotunjită pentru calcul).

1. Perioada este $T=24\cdot 3600=86400\mathrm{s}$, deci $\omega =2\pi /T\approx 7,27\cdot 10^{-5}rad/s$.
2. Viteza liniară este $v=\omega R\approx 465m/s$, adică circa $1700km/h$.
3. Accelerația centripetă este $a_c={\omega }^{2}R\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$.

Valoarea reprezintă numai circa $0,35\%$ din $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$, motiv pentru care rotația Pământului are un efect mic asupra greutății corpurilor.

Greșeli frecvente

• Greșit: a spune că accelerația este zero deoarece viteza scalară este constantă.
  Corect: direcția vitezei se schimbă, deci accelerația centripetă este $a_c=v^2/r\ne 0$.
• Greșit: a confunda perioada, măsurată în secunde, cu frecvența, măsurată în hertzi.
  Corect: perioada se măsoară în secunde, frecvența în hertzi, iar $f=1/T$.
• Greșit: a orienta viteza instantanee spre centru.
  Corect: viteza instantanee este tangentă la cerc; spre centru este orientată accelerația.
• Greșit: a introduce în $v=\omega r$ o viteză unghiulară dată în rotații pe minut.
  Corect: $\omega$ se exprimă în $rad/s$, iar $n$ rotații pe minut înseamnă $\omega =2\pi n/60$.

Înainte și după