Compunerea vitezelor

Viteza depinde de reperul ales. Viteza unui corp față de sol se obține din viteza lui față de un vehicul și viteza vehiculului față de sol, prin adunare vectorială în mecanica clasică. Sensurile contează, de aceea fiecare viteză se indică împreună cu reperul ei.

Pe un drum drept, dacă autobuzul merge cu $10m/s$ față de drum și tu mergi spre partea din față a autobuzului cu $1m/s$ față de el, viteza ta față de drum este $11m/s$. Dacă mergi spre spatele autobuzului, cu viteza de același modul față de autobuz, viteza față de drum este $9m/s$. Se adună sau se scad valorile numai după ce s-au stabilit sensurile.

Pe apă, o barcă se deplasează față de apă într-o direcție, iar curentul mișcă apa față de mal în alta. Atunci nu ajunge să aduni două numere: direcțiile contează. Vitezele se desenează ca săgeți și se compun ca două deplasări succesive, iar săgeata rezultantă arată direcția și modulul vitezei bărcii față de mal.

Regula de compunere clasică (galileană) este valabilă pentru viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid. La viteze comparabile cu ea se folosește o altă relație, tratată în relativitatea restrânsă. În orice calcul se precizează corpul mobil, reperul intermediar și reperul final, împreună cu sensurile vitezelor.

Fie un reper $R$ (solul) și un reper $R^{\prime }$ care se mișcă față de $R$ cu viteza constantă $\vec{u}$, prin translație. Dacă axele sunt paralele și originile coincid la $t=0$, transformările Galilei pentru $\vec{u}$ de-a lungul axei $Ox$ sunt $x=x^{\prime }+ut$, $y=y^{\prime }$, $z=z^{\prime }$ și $t=t^{\prime }$. Ultima egalitate exprimă ipoteza timpului absolut: ceasurile din cele două repere merg la fel. Dacă un corp are în $R^{\prime }$ deplasarea $\Delta x^{\prime }$ într-un interval $\Delta t$, în $R$ el are deplasarea $\Delta x=\Delta x^{\prime }+u\Delta t$; împărțind la $\Delta t$ se obține legea compunerii vitezelor, ${\vec{v}}_{C/R}={\vec{v}}_{C/R^{\prime }}+{\vec{v}}_{R^{\prime }/R}$: viteza față de sol este suma dintre viteza față de reperul mobil și viteza reperului mobil față de sol.

Pentru două corpuri $A$ și $B$ cu vitezele ${\vec{v}}_A$ și ${\vec{v}}_B$ față de același reper, viteza lui $A$ față de $B$ este ${\vec{v}}_{A/B}={\vec{v}}_A-{\vec{v}}_B$. Dacă $R^{\prime }$ se mișcă cu $\vec{u}$ constantă, accelerațiile măsurate în $R$ și în $R^{\prime }$ sunt egale, $\vec{a}={\vec{a}}^{\prime }$, așa că legile mecanicii au aceeași formă în ambele repere. Pe o axă, semnele proiecțiilor indică sensurile; vitezele perpendiculare se compun cu teorema lui Pitagora, iar unghiul se află cu tg. Legea este exactă în mecanica clasică și o bună aproximare când toate vitezele sunt mult mai mici decât $c=3\cdot 10^{8}m/s$.

Pe aceeași direcție, relația $v_{A/B}=v_A-v_B$ dă cazurile uzuale. Două automobile care se apropie, unul cu $20m/s$, celălalt cu $15m/s$ față de șosea, au viteza relativă de $35m/s$, pentru că proiecțiile au semne opuse; dacă merg în același sens, primul îl depășește pe al doilea cu viteza relativă de $5m/s$. Aceeași relație explică de ce un tren din stația vecină pare să stea pe loc când merge cu aceeași viteză, în același sens, ca trenul în care ne aflăm.

Exemplu rezolvat 1. O barcă cu motor pornește perpendicular pe malul unui râu lat de $60\mathrm{m}$, cu viteza $5m/s$ față de apă. Curentul are viteza $3m/s$ față de mal, paralel cu malul.

1. Componenta perpendiculară pe mal este $5m/s$, deci traversarea durează $t=60/5=12\mathrm{s}$.
2. În acest timp curentul o poartă pe direcția malului cu $3\cdot 12=36\mathrm{m}$.
3. Viteza față de mal are modulul $v=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\approx 5,8m/s$.

Barca ajunge pe malul opus cu $36\mathrm{m}$ mai departe în aval; durata traversării nu depinde de curent.

Exemplu rezolvat 2. Ploaia cade vertical, cu viteza $8m/s$ față de sol, iar un automobil merge orizontal cu $15m/s$ față de sol. Se află viteza picăturilor față de automobil.

1. Viteza picăturilor față de automobil este ${\vec{v}}_{p/a}={\vec{v}}_p-{\vec{v}}_a$, cu componentele $15m/s$ înapoi (opus mersului) și $8m/s$ în jos.
2. Modulul este $v_{p/a}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17m/s$.
3. Unghiul față de verticală rezultă din $\mathrm{tg}\alpha =15/8$, deci $\alpha \approx 62^{\circ }$, picăturile venind dinspre față.

Pentru un pasager, urmele picăturilor pe geam sunt înclinate înapoi cu aproximativ $62^{\circ }$ față de verticală.

Greșeli frecvente

• Greșit: se adună modulele vitezelor fără să se țină cont de sensuri sau de reper.
  Corect: vitezele se compun vectorial, iar fiecare este însoțită de reperul față de care este dată.
• Greșit: pentru viteze perpendiculare, viteza rezultantă este suma aritmetică a modulelor.
  Corect: $v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$; de exemplu, $\sqrt{5^2+3^2}\approx 5,8m/s$, nu $8m/s$.
• Greșit: curentul unui râu schimbă durata traversării, dacă barca merge perpendicular pe mal.
  Corect: durata depinde numai de lățimea râului și de componenta vitezei bărcii perpendiculară pe mal.
• Greșit: legea de compunere clasică se aplică și vitezelor apropiate de viteza luminii.
  Corect: ea este valabilă pentru viteze mult mai mici decât $c$; la viteze comparabile cu $c$ se folosește relația relativistă.

Înainte și după