Modelul Bohr

Hidrogenul gazos excitat nu emite un curcubeu continuu, ci linii la anumite culori. Modelul Bohr a explicat aceste linii prin ideea că electronul din atomul de hidrogen poate avea numai anumite energii permise. Când trece de la o energie mai mare la una mai mică, atomul emite un foton cu energia egală cu diferența.

Bohr a combinat nucleul descoperit prin experimente de împrăștiere cu reguli cuantice noi. În desenul său, electronul poate ocupa anumite „orbite” și nu radiază continuu cât timp rămâne pe una dintre ele. Aceasta a rezolvat două probleme ale modelului planetar clasic: stabilitatea atomului de hidrogen și pozițiile liniilor sale spectrale.

Desenul cu cercuri în jurul nucleului este util pentru a număra niveluri, dar nu este o fotografie a electronului. Mecanica cuantică modernă descrie electronul prin stări și probabilități, nu printr-o traiectorie circulară exactă pe care o poți urmări. Modelul Bohr funcționează bine pentru atomul de hidrogen și ioni cu un singur electron, dar nu explică complet atomii cu mulți electroni.

Un atom poate și absorbi un foton dacă energia lui se potrivește cu o diferență permisă între niveluri, trecând într-o stare mai înaltă. Dacă energia fotonului este suficientă pentru a îndepărta electronul, atomul poate fi ionizat. Emisia, absorbția și ionizarea sunt procese diferite; nu le numi pe toate „salturi între două orbite legate”.

Postulatele. Electronul poate ocupa numai stări staționare permise, fără să radieze în acea stare; pentru orbitele permise momentul cinetic este cuantificat, $m_e{v}_n{r}_n=nh/(2\pi )$, cu $n=1,2,3,\dots$; la tranziția dintre două niveluri se emite sau se absoarbe un foton cu $h\nu =|E_i-E_f|$. Împreună cu legea lui Newton pentru mișcarea circulară sub acțiunea forței coulombiene, ele dau, pentru hidrogen, $r_n=n^2{r}_1$, cu raza Bohr $r_1\simeq 0,53\cdot 10^{-10}\mathrm{m}$, și viteza $v_n=v_1/n$, cu $v_1\simeq 2,19\cdot 10^{6}m/s$, adică $c/137$. Cu cât numărul cuantic $n$ este mai mare, cu atât orbita este mai mare, iar electronul se mișcă mai lent și este legat mai slab.

Energiile. Pentru hidrogen în aproximația Bohr, $E_n=-13,6\mathrm{eV}/n^2$. Energia este negativă pentru că electronul este legat, iar starea fundamentală $n=1$ are cea mai mică energie. Energia de ionizare a atomului de hidrogen aflat în starea fundamentală este de $13,6\mathrm{eV}$. La emisie de la $n_i>n_f$, energia fotonului este $h\nu =E_{n_i}-E_{n_f}>0$, iar $1/\lambda =R_H(1/n_f^2-1/n_i^2)$. Tranzițiile spre $n=1$ formează seria Lyman (ultraviolet), spre $n=2$ seria Balmer (în principal vizibil), iar spre $n=3$ seria Paschen (infraroșu). Modelul se extinde la ioni hidrogenoizi, cum sunt ${\mathrm{He}}^{+}$ și ${\mathrm{Li}}^{2+}$, prin factorul $Z^2$ în energie, $E_n=-13,6Z^2/n^2\mathrm{eV}$, și prin raza $r_n=n^2{r}_1/Z$. Nu aplica formula $-13,6/n^2$ direct la heliul neutru sau alți atomi polielectronici.

Limitele modelului. Modelul prezice corect lungimile de undă ale liniilor hidrogenului, dar nu poate spune cât de intense sunt liniile, nu explică despicarea lor în câmp magnetic și nu funcționează pentru atomii cu doi sau mai mulți electroni, la care apar și respingeri între electroni. În descrierea cuantică, electronului i se asociază o stare caracterizată prin numere cuantice și o distribuție de probabilitate, iar raza Bohr $r_1$ coincide cu distanța cea mai probabilă dintre electron și nucleu în starea fundamentală a hidrogenului. Experimentul Franck–Hertz a confirmat direct existența nivelurilor discrete de energie.

Exemplu rezolvat 1 — absorbția $n=1\to 2$. Pentru hidrogen, calculăm fotonul absorbit la trecerea electronului de la $n=1$ la $n=2$.

1. Folosim $E_n=-13,6/n^2\mathrm{eV}$: $E_1=-13,6\mathrm{eV}$ și $E_2=-3,4\mathrm{eV}$.
2. Energia cerută este $\Delta E=E_2-E_1=10,2\mathrm{eV}$.
3. Lungimea de undă este $\lambda =hc/\Delta E\approx 1240/10,2\approx 121,6\mathrm{nm}$.

Fotonul aparține ultravioletului. Dacă energia fotonului nu corespunde unei diferențe între niveluri permise, atomul izolat nu face această tranziție prin absorbția unui singur foton în modelul ideal.

Exemplu rezolvat 2 — raza și viteza pe nivelul $n=3$. Se cer raza orbitei și viteza electronului din hidrogen pe al treilea nivel.

1. Raza este $r_3=3^2{r}_1=9\cdot 0,53\cdot 10^{-10}\approx 4,8\cdot 10^{-10}\mathrm{m}$.
2. Viteza este $v_3=v_1/3\approx 2,19\cdot 10^6/3\approx 7,3\cdot 10^{5}m/s$.
3. Energia nivelului este $E_3=-13,6/9\approx -1,51\mathrm{eV}$, iar energia de ionizare de pe acest nivel este de numai $1,51\mathrm{eV}$.

Exemplu rezolvat 3 — ionul ${\mathrm{He}}^{+}$. Ionul de heliu cu un singur electron ($Z=2$) trece de pe nivelul $n=2$ pe nivelul $n=1$.

1. Energiile sunt $E_n=-13,6\cdot 4/n^2=-54,4/n^2\mathrm{eV}$, deci $E_1=-54,4\mathrm{eV}$ și $E_2=-13,6\mathrm{eV}$.
2. Fotonul emis are $E_{\gamma }=E_2-E_1=40,8\mathrm{eV}$.
3. Lungimea de undă este $\lambda =1240/40,8\approx 30,4\mathrm{nm}$, în ultravioletul îndepărtat, de patru ori mai scurtă decât pentru aceeași tranziție în hidrogen.

Greșeli frecvente

• Greșit: a considera orbitele lui Bohr traiectorii observate direct.
  Corect: orbitele sunt un model; mecanica cuantică descrie electronul prin probabilități.
• Greșit: a folosi energia nivelului cu semn negativ ca energie negativă a fotonului emis.
  Corect: energia fotonului este diferența pozitivă E_i − E_f > 0.
• Greșit: a aplica formula hidrogenului tuturor atomilor.
  Corect: $E_n=-13,6\mathrm{eV}/n^2$ este valabilă pentru hidrogen; pentru ionii cu un electron se înmulțește cu Z²; nu se aplică atomilor cu mai mulți electroni.

Înainte și după