Limita unui șir

Un șir $(a_n)$ are limita $\ell \in \mathbb{R}$ dacă în orice vecinătate a lui $\ell$ se află toți termenii șirului începând de la un anumit rang. Scriem ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\ell$, iar șirul se numește convergent. Un șir care nu are limită finită este divergent. De exemplu, $a_n=1/n$ are limita $0$: termenii sunt pozitivi, dar devin tot mai mici. Un șir ale cărui valori depășesc orice număr fixat de la un rang încolo are limita $+\infty$, ca $a_n=n^2$. Șirul $(-1{)}^n$ nu are limită.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n+1}{n}$.

1. Împărțim fiecare termen la $n$: $\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$.
2. Știm că $1/n\to 0$.
3. Limita este $2$.

O vecinătate a lui $\ell$ este orice interval deschis $(\ell -\delta ;\ell +\delta )$, cu $\delta >0$, sau orice mulțime care îl conține; vecinătățile lui $+\infty$ sunt intervalele $(M;+\infty )$. Limita, dacă există, este unică, iar schimbarea unui număr finit de termeni nu o modifică. Orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă. Un șir cu limita $+\infty$ nu este mărginit superior, deci nu este convergent; el este divergent, la fel ca șirul $(-1{)}^n$, care nu are nicio limită. Proprietatea lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent.

Limitele de bază sunt: $\lim n^a=+\infty$ pentru $a>0$ și $\lim n^a=0$ pentru $a<0$; $\lim q^n=0$ pentru $|q|<1$, $1$ pentru $q=1$, $+\infty$ pentru $q>1$, iar pentru $q\le -1$ șirul nu are limită; $\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e\approx 2,718$ (fără demonstrație). Mai general, dacă $u_n\to 0$ și $u_n\ne 0$, atunci $(1+u_n{)}^{1/u_n}\to e$.

Limita sumei, a produsului și a câtului este suma, produsul și câtul limitelor, cu condiția ca limita numitorului să fie nenulă. Rămân nedeterminate cazurile exceptate $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\frac{0}{0}$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$; ele se rezolvă prin transformarea expresiei.

Exemplu rezolvat. Arătăm direct că $1/n\to 0$.

1. Alegem o vecinătate a lui $0$, de exemplu $(-\delta ;\delta )$ cu $\delta >0$.
2. Pentru orice $n>1/\delta$ avem $0<1/n<\delta$, deci termenul este în vecinătate.
3. Rămân în afara ei cel mult termenii cu $n\le 1/\delta$, adică un număr finit.

Exemplu rezolvat. Raportul a două polinoame în $n$ se rezolvă împărțind la puterea cea mai mare de la numitor.

1. $\frac{4n^2-1}{2n^2+3n}=\frac{4-1/n^2}{2+3/n}\to \frac{4}{2}=2$, la grade egale.
2. $\frac{n^2+1}{3n^3-n}=\frac{1/n+1/n^3}{3-1/n^2}\to 0$, când gradul numărătorului este mai mic.
3. $\frac{2n^3+1}{n^2+n}=\frac{2n+1/n^2}{1+1/n}\to +\infty$, când gradul numărătorului este mai mare.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\lim \frac{2^{n+1}+3^n}{2^n+3^{n+1}}$, unde puterile cu baza cea mai mare domină.

1. Împărțim numărătorul și numitorul la $3^n$: $\frac{2\cdot (2/3{)}^n+1}{(2/3{)}^n+3}$.
2. Cum $|2/3|<1$, avem $(2/3{)}^n\to 0$.
3. Limita este $\frac{0+1}{0+3}=\frac{1}{3}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\lim {\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n$, caz $1^{\infty }$.

1. Notăm $u_n=\frac{3}{n}$; avem $u_n\to 0$ și $u_n\ne 0$, deci $(1+u_n{)}^{1/u_n}\to e$.
2. Exponentul $n$ este $3\cdot \frac{1}{u_n}$, deci $(1+u_n{)}^n={\left[(1+u_n{)}^{1/u_n}\right]}^3$.
3. Limita este $e^3\approx 20,09$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\lim (\sqrt{n+3}-\sqrt{n})$, caz $\infty -\infty$. Amplificăm cu conjugata: $\sqrt{n+3}-\sqrt{n}=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}$. Numitorul tinde la $+\infty$, deci limita este $0$.

Regula cleștelui: dacă $a_n\le b_n\le c_n$ de la un rang înainte și ambele șiruri extreme tind la $\ell$, atunci $b_n\to \ell$. Exemplu rezolvat. Pentru $b_n=\sin n/n$, avem $-1\le \sin n\le 1$, deci $-1/n\le b_n\le 1/n$ pentru $n\ge 1$. Ambele margini tind la $0$, astfel $b_n\to 0$, deși $\sin n$ nu are limită. În schimb, șirul $(-1{)}^n$ nu converge: termenii pari sunt $1$, cei impari sunt $-1$, iar un interval cu centrul în orice $\ell$ și cu lungimea mai mică decât $2$ nu poate conține ambele valori de la un rang încolo.

Exemplu rezolvat. Arătăm că șirul $a_n=\frac{n}{n+1}$ converge. Diferența $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$, deci șirul crește, iar $a_n<1$, deci este mărginit. Conform proprietății lui Weierstrass converge, iar limita este $1$.

Problemele cer limite cu cazuri exceptate și limita unui șir dat prin recurență.

Problema 1. Limita ${\lim }_{n\to \infty }\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$ este:

a) $0$ b) $\frac{3}{4}$ c) $1$ d) $\frac{3}{2}$ e) $3$ f) $+\infty$

Amplificăm cu conjugata: $\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3}{\sqrt{1+3/n}+1}\to \frac{3}{2}$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) $0$ presupune $\infty -\infty =0$; b) $\frac{3}{4}$ împarte încă o dată la $2$; c) $1$ este limita raportului $\sqrt{n^2+3n}/n$; e) $3$ uită termenul $n$ din numitor; f) $+\infty$ crede că diferența a doi termeni care tind la $+\infty$ tinde tot la $+\infty$.

Problema 2. Limita ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+3}{n+1}\right)}^n$ este:

a) $1$ b) $\sqrt{e}$ c) $e$ d) $e^2$ e) $e^3$ f) $+\infty$

Scriem baza $1+u_n$, cu $u_n=\frac{2}{n+1}\to 0$. Atunci $(1+u_n{)}^n={\left[(1+u_n{)}^{1/u_n}\right]}^{n{u}_n}$, cu $(1+u_n{)}^{1/u_n}\to e$ și $n{u}_n=\frac{2n}{n+1}\to 2$. Limita este $e^2$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) $1$ reține doar că baza tinde la $1$, deși cazul $1^{\infty }$ este nedeterminat; b) $\sqrt{e}$ inversează factorul $2$; c) $e$ ignoră factorul $n{u}_n\to 2$; e) $e^3$ ia numărul $3$ din numărător în loc de diferența $3-1=2$; f) $+\infty$ pornește de la ideea că o bază mai mare decât $1$ ridicată la puterea $n$ crește fără margini, deși baza se apropie de $1$.

Problema 3. Șirul $(a_n)$ are $a_1=0$ și $a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2$. Limita lui este:

a) $0$ b) $2$ c) $\frac{8}{3}$ d) $3$ e) $6$ f) $+\infty$

Prin inducție, $a_n<3$: pentru $a_1=0$ este adevărat, iar din $a_n<3$ rezultă $a_{n+1}<1+2=3$. Diferența $a_{n+1}-a_n=\frac{2}{3}(3-a_n)>0$, deci șirul este crescător. Fiind monoton și mărginit, converge. Limita $\ell$ verifică $\ell =\frac{\ell }{3}+2$, adică $\ell =3$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) $0$ este primul termen; b) $2$ este termenul liber al recurenței; c) $\frac{8}{3}=a_3$ ia un termen drept limită; e) $6=2/\frac{1}{3}$ uită scăderea din $1-\frac{1}{3}$ când se rezolvă ecuația punctului fix; f) $+\infty$ pornește de la faptul că șirul crește.

Greșeli frecvente

• Greșit: limita este valoarea unui termen foarte îndepărtat.
  Corect: descrie comportarea pentru indici arbitrar de mari.
• Greșit: orice șir mărginit converge.
  Corect: șirul $(-1{)}^n$ este mărginit, dar nu converge.
• Greșit: se împart limitele când limita numitorului este zero.
  Corect: regula câtului cere numitor cu limită nenulă.
• Greșit: $\lim {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=1$, fiindcă baza tinde la $1$.
  Corect: cazul $1^{\infty }$ este nedeterminat, iar limita este $e\approx 2,718$.
• Greșit: $\lim (\sqrt{n^2+3n}-n)=\infty -\infty =0$.
  Corect: $\infty -\infty$ este caz exceptat, fără valoare fixă; după amplificarea cu conjugata, limita este $\frac{3}{2}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente