Scrierea în baza 10 și în baza 2

În scrierea obișnuită, baza zece, folosim cifrele $0;1;\dots ;9$. Locul unei cifre arată puterea lui $10$ cu care o înmulțim: $305=3\cdot 100+0\cdot 10+5$. De aceea, schimbarea ordinii cifrelor schimbă numărul. În baza doi folosim numai cifrele $0$ și $1$, iar locurile valorează, de la dreapta la stânga, $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ și așa mai departe.

Exemplu rezolvat. Transformăm $(1011{)}_2$ în baza zece.

1. Scriem valorile locurilor, de la dreapta: $1;2;4;8$.
2. Adunăm numai locurile marcate cu $1$: $8+2+1=11$.
3. Obținem $(1011{)}_2=(11{)}_{10}$ și verificăm prin $1\cdot 8+0\cdot 4+1\cdot 2+1=11$.

Indicele arată baza: $(1011{)}_2$ și $(1011{)}_{10}$ nu sunt același număr.

Fiecare loc din stânga valorează de două ori mai mult decât vecinul său din dreapta. Ca să scrii $13$ în baza doi, îl descompui în $8+4+1$; marchezi cu $1$ locurile pentru $8$, $4$ și $1$, iar locul pentru $2$ primește $0$. Astfel $(13{)}_{10}=(1101{)}_2$. Dacă scrii $(111{)}_2$, obții $4+2+1=7$; următorul număr este $(1000{)}_2=8$. Trecerea seamănă cu cea de la $9$ la $10$ în baza zece: când nu mai ai o cifră disponibilă într-un loc, treci la locul următor. În baza doi, după o unitate și încă una, scrii două și zero unități.

O a doua metodă pentru scrierea în baza doi este împărțirea repetată la $2$. Notezi resturile și le citești de jos în sus.

Exemplu rezolvat. Scrie $37$ în baza doi.

1. Împarte la $2$: $37=2\cdot 18+1$, restul este $1$.
2. Împarte câtul: $18=2\cdot 9+0$, restul este $0$.
3. Continuă: $9=2\cdot 4+1$; $4=2\cdot 2+0$; $2=2\cdot 1+0$; $1=2\cdot 0+1$. Resturile, în ordine, sunt $1;0;1;0;0;1$.
4. Citește resturile de jos în sus: $100101$.

Răspuns: $37=(100101{)}_2$. Verificare: $1\cdot 32+0\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+0\cdot 2+1=37$.

Scrierea în baza zece este tot o sumă de valori de loc: $2408=2\cdot 1000+4\cdot 100+0\cdot 10+8$. Cifra $0$ ține loc unui ordin gol și nu poate fi omisă, fiindcă fără ea cifrele din stânga ar ocupa locuri mai mici. Un număr cu mai multe cifre este mai mare decât unul cu mai puține, în ambele baze: $(11111{)}_2=31<32=(100000{)}_2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(101{)}_2$ înseamnă o sută unu.
  Corect: în baza doi, $(101{)}_2=4+1=5$.
• Greșit: cifra $2$ poate apărea într-un număr scris în baza doi.
  Corect: baza doi folosește doar $0$ și $1$.
• Greșit: la împărțirea repetată la $2$, resturile se citesc de sus în jos.
  Corect: se citesc de jos în sus; de sus în jos, $37$ ar deveni $(101001{)}_2=41$.

Înainte și după