Relativitatea clasică

Mișcarea se descrie față de un reper. În mecanica clasică, observatori aflați în repere inerțiale diferite pot atribui aceluiași corp viteze diferite. Viteza corpului față de sol se obține compunând viteza lui față de un vehicul cu viteza vehiculului față de sol, ținând seama de sensuri.

Pentru viteze mici față de viteza luminii, transformarea galileană permite adunarea vectorială a vitezelor. Dacă un vehicul se deplasează cu $20m/s$ și un corp are viteza de $5m/s$ în același sens față de vehicul, viteza sa față de sol este $25m/s$ în modelul clasic. Pentru sens opus, componentele se scad.

Un reper inerțial este unul în care un corp fără forță rezultantă rămâne în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă. Când trenul merge uniform, un experiment mecanic simplu în vagon se poate desfășura la fel ca într-o cameră nemișcată, dacă ignori vibrațiile și alte diferențe.

Relativitatea clasică funcționează foarte bine la viteze mici față de viteza luminii. Ea presupune un timp comun pentru toți observatorii și compunerea simplă a vitezelor. Pentru lumină și viteze foarte mari, aceste presupuneri trebuie înlocuite de relațiile relativității restrânse. Nu înseamnă că experiența cu trenul este greșită; este o aproximație excelentă în domeniul ei.

Principiul relativității clasice. Galilei a observat că, într-o cabină închisă, aflată pe o navă care înaintează uniform pe o mare calmă, niciun experiment mecanic nu arată dacă nava se mișcă sau stă pe loc: o picătură cade vertical, un pește înoată la fel în toate direcțiile. Legile mecanicii au aceeași formă în toate reperele inerțiale; nu există un reper inerțial privilegiat și nu se poate defini, prin experimente mecanice, o stare de repaus absolut. Orice reper care se mișcă rectiliniu și uniform față de un reper inerțial este tot inerțial.

Transformarea Galilei. Între două repere inerțiale cu viteză relativă $u$ pe axa $x$, originile coincizând la $t=0$, avem $x^{\prime }=x-ut$, $y^{\prime }=y$, $z^{\prime }=z$ și $t^{\prime }=t$: timpul este același pentru toți observatorii. Rezultă $v_x^{\prime }=v_x-u$ și accelerații egale $a_x^{\prime }=a_x$ pentru $u$ constant. Lungimile, intervalele de timp și accelerațiile sunt aceleași în ambele repere (sunt invarianți), în timp ce viteza, energia cinetică și forma traiectoriei depind de reper. Așa se explică de ce legea a doua a lui Newton, $F=ma$, își păstrează forma în toate reperele inerțiale. Un reper care accelerează față de unul inerțial nu este inerțial: într-un vagon care frânează, un pendul se înclină în sensul mersului, deși niciun corp nu l-a tras în acel sens.

Electromagnetismul și constanța măsurată a vitezei luminii în vid arată limita acestei transformări. Dacă lumina s-ar propaga cu viteza $c$ față de un mediu special, eterul, atunci viteza ei față de un observator mobil ar fi $c\pm u$, conform adunării galileene. Experimentul lui Michelson și Morley nu a găsit acest efect, iar relativitatea restrânsă rezolvă contradicția.

Exemplu rezolvat 1 — adunarea vitezelor. Un tren merge cu $u=20m/s$ față de sol. Un elev aruncă în sensul mersului o minge cu $v^{\prime }=5m/s$ față de tren.

1. În mecanica galileană, vitezele coliniare se adună: $v=v^{\prime }+u$.
2. Obținem $v=5+20=25m/s$ față de sol.
3. Dacă mingea este aruncată spre spatele trenului cu $v^{\prime }=-5m/s$, viteza față de sol devine $15m/s$ în sensul trenului.

Dacă mingea este aruncată perpendicular pe sensul trenului, vitezele nu se mai adună aritmetic: viteza față de sol are modulul $\sqrt{20^2+5^2}\approx 20,6m/s$.

Exemplu rezolvat 2 — reper neinerțial. Un pendul este suspendat de tavanul unui vagon care pornește cu accelerația $a_0=1,5m/{\mathrm{s}}^2$. Se cere unghiul de înclinare al firului în echilibru față de vagon, cu $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$.

1. În reperul solului, corpul are accelerația $a_0$ pe orizontală, iar tensiunea și greutatea au rezultanta orizontală $m{a}_0$.
2. Din $T\cos \theta =mg$ și $T\sin \theta =m{a}_0$ rezultă $\mathrm{tg}\theta =a_0/g=1,5/9,8\approx 0,153$.
3. Unghiul este $\theta \approx 8,7^{\circ }$, cu firul înclinat înapoi față de sensul accelerației.

În reperul vagonului, același echilibru se explică prin forța de inerție $-m{a}_0$; ea apare doar din alegerea unui reper neinerțial și nu are agent.

Exemplu rezolvat 3 — lumina și adunarea galileană. O navă se mișcă față de Pământ cu $u=0,5c$ și emite lumină în sensul mersului.

1. Adunarea galileană ar da, față de Pământ, viteza $c+0,5c=1,5c$.
2. Experimentele arată că observatorul de pe Pământ măsoară tot $c$, nu $1,5c$.
3. Transformările Lorentz dau compunerea relativistă $v=\frac{v^{\prime }+u}{1+v^{\prime }u/c^2}=\frac{c+0,5c}{1+0,5}=c$, în acord cu măsurătoarea.

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna vitezele fără a preciza direcția și reperul.
  Corect: vitezele se compun vectorial, precizând reperul.
• Greșit: a considera un vagon care accelerează drept reper inerțial exact.
  Corect: reperul care accelerează nu este inerțial.
• Greșit: a aplica transformarea Galilei la viteze apropiate de $c$ ca și cum ar fi exactă.
  Corect: la viteze apropiate de $c$ se folosesc transformările Lorentz.

Înainte și după