Mărimi fizice și unități SI

„Masa ghiozdanului este 4” nu spune destul: 4 grame și 4 kilograme sunt lucruri foarte diferite. O mărime fizică este o proprietate pe care o putem măsura, iar rezultatul unei măsurări cuprinde un număr și o unitate de măsură. Spunem „masa este $4\mathrm{kg}$” sau „durata este $10\mathrm{s}$”.

Ca să putem compara rezultatele din țări diferite, se folosește Sistemul Internațional de unități, prescurtat SI. Lungimea se măsoară în metri ($\mathrm{m}$), masa în kilograme ($\mathrm{kg}$), timpul în secunde ($\mathrm{s}$). În viața de zi cu zi apar și alte unități: centimetri, kilometri, minute, litri. Legăturile dintre ele sunt $1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$, $1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$, $1\min =60\mathrm{s}$ și $1\mathrm{kg}=1000\mathrm{g}$. Astfel, $250\mathrm{cm}=2,5\mathrm{m}$.

Prefixele arată multipli și submultipli ai unităților: kilo ($\mathrm{k}$) înseamnă $10^3$, mili ($\mathrm{m}$) înseamnă $10^{-3}$, centi ($\mathrm{c}$) înseamnă $10^{-2}$. Pentru valori foarte mari sau foarte mici se folosesc și mega ($\mathrm{M}$, $10^6$), micro ($\mu$, $10^{-6}$) și nano ($\mathrm{n}$, $10^{-9}$). De exemplu, $0,0001\mathrm{m}=0,1\mathrm{mm}$, iar un fir de păr are grosimea de ordinul $10^{-4}\mathrm{m}$.

Unele mărimi se obțin din altele. Aria unui dreptunghi este lungimea înmulțită cu lățimea; dacă ambele sunt în metri, aria este în metri pătrați (${\mathrm{m}}^2$). Viteza leagă distanța de timp, deci unitatea ei este metrul pe secundă ($m/s$). Volumul se măsoară în ${\mathrm{m}}^3$, iar un litru este $1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$, adică a mia parte dintr-un metru cub.

Exemplu rezolvat. O cameră are lungimea de $4\mathrm{m}$ și lățimea de $3\mathrm{m}$. Aria este $A=4\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{m}=12{\mathrm{m}}^2$. Pentru a o exprima în centimetri pătrați, folosim $1{\mathrm{m}}^2=10000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, deoarece $1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$, iar $100\cdot 100=10000$. Rezultă $A=12\cdot 10000=120000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

Unitatea potrivită face numerele ușor de citit: pentru drumul până la școală folosim kilometrul, iar pentru grosimea unei monede milimetrul, deoarece $0,002\mathrm{m}$ se scrie mai simplu $2\mathrm{mm}$. Nu putem aduna valori de natură diferită: $2\mathrm{m}+3\mathrm{s}$ nu reprezintă nicio mărime fizică. Când rezolvi o problemă, scrie unitatea lângă fiecare valoare și verifică unitatea rezultatului: ea îți arată o conversie uitată înainte să termini calculul.

SI are șapte mărimi fundamentale, cu unitățile lor de bază: lungimea (metrul, $\mathrm{m}$), masa (kilogramul, $\mathrm{kg}$), timpul (secunda, $\mathrm{s}$), intensitatea curentului electric (amperul, $\mathrm{A}$), temperatura termodinamică (kelvinul, $\mathrm{K}$), cantitatea de substanță (molul, $\mathrm{mol}$) și intensitatea luminoasă (candela, $\mathrm{cd}$). Celelalte mărimi sunt derivate, iar unitățile lor sunt produse și rapoarte ale celor de bază: $[v]=m/s$, $[a]=m/{\mathrm{s}}^2$, $[F]=\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$, $[E]=\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}=\mathrm{J}$, $[P]=J/s=\mathrm{W}$, $[p]=N/{\mathrm{m}}^2=\mathrm{Pa}$.

Definițiile actuale se bazează pe constante fizice: secunda pe frecvența radiației emise de atomul de cesiu ${}^{133}\mathrm{Cs}$ ($9192631770$ perioade într-o secundă), metrul pe distanța străbătută de lumină în vid în $1/299792458\mathrm{s}$, iar kilogramul pe valoarea fixată a constantei Planck, $h=6,62607015\cdot 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Prefixele se extind până la giga ($\mathrm{G}$, $10^9$), tera ($\mathrm{T}$, $10^{12}$), pico ($\mathrm{p}$, $10^{-12}$) și femto ($\mathrm{f}$, $10^{-15}$). Kilogramul este singura unitate de bază care are prefix în nume, așa că multiplii masei se formează de la gram. Alături de SI se folosesc litrul ($1\mathrm{L}=10^{-3}{\mathrm{m}}^3$), tona ($1\mathrm{t}=10^3\mathrm{kg}$), minutul și ora. Mărimile sunt scalare (masa, timpul, temperatura) sau vectoriale (viteza, forța), iar unghiul plan, în radiani, este o mărime fără dimensiune.

Conversia unei unități la pătrat sau la cub ridică factorul la aceeași putere: $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=10^{-6}{\mathrm{m}}^3$. Ordinul de mărime al unei valori este cea mai apropiată putere a lui zece. Dacă valoarea se scrie $a\cdot 10^n$, cu $1\le a<10$, ordinul ei este $10^n$ pentru $a<\sqrt{10}\approx 3,16$ și $10^{n+1}$ pentru $a>3,16$. Raza Pământului, $6,4\cdot 10^6\mathrm{m}$, are ordinul $10^7\mathrm{m}$, pentru că $6,4$ este mai mare decât $3,16$, în timp ce distanța de $2,1\cdot 10^6\mathrm{m}$ ar avea ordinul $10^6\mathrm{m}$. Ordinul de mărime servește la estimări rapide: dacă un calcul ar da înălțimea unui om de $2\cdot 10^3\mathrm{m}$, ordinul $10^3\mathrm{m}$ arată imediat că s-a uitat o conversie. Ecuațiile fizice sunt omogene dimensional: termenii care se adună au aceeași unitate, iar cei doi membri ai egalității la fel. Verificarea dimensională depistează erori de transcriere, dar nu dovedește că formula este corectă.

Câteva ordine de mărime utile: raza unui atom, $10^{-10}\mathrm{m}$; diametrul unei celule, $10^{-5}\mathrm{m}$; înălțimea unui om, $2\mathrm{m}$, adică ordinul $10^0\mathrm{m}$; distanța Pământ–Soare, $1,5\cdot 10^{11}\mathrm{m}$, adică ordinul $10^{11}\mathrm{m}$; masa unui electron, $9,1\cdot 10^{-31}\mathrm{kg}$, adică ordinul $10^{-30}\mathrm{kg}$. Lungimile din această listă se întind pe 21 de ordine de mărime, de la $10^{-10}\mathrm{m}$ la $10^{11}\mathrm{m}$: raportul dintre cea mai mare și cea mai mică este de aproximativ $10^{21}$.

Exemplu rezolvat 1. Se transformă în unități SI viteza $72km/h$, densitatea aluminiului $2,7g/c{\mathrm{m}}^3$ și aria $4500\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

1. Pentru viteză: $72km/h=72\cdot 1000\mathrm{m}/3600\mathrm{s}=20m/s$.
2. Pentru densitate: $2,7g/c{\mathrm{m}}^3=2,7\cdot 10^{-3}\mathrm{kg}/10^{-6}{\mathrm{m}}^3=2,7\cdot 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3=2700kg/{\mathrm{m}}^3$.
3. Pentru arie: $4500\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=4500\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=0,45{\mathrm{m}}^2$.

Cele trei valori se pot introduce acum direct în formule cu unități SI.

Exemplu rezolvat 2. Se verifică dimensional formula perioadei pendulului, $T=2\pi \sqrt{l/g}$, și variantele ei greșite.

1. Unitatea lui $l/g$ este $\mathrm{m}/(m/{\mathrm{s}}^2)={\mathrm{s}}^2$.
2. Rădăcina pătrată dă $\sqrt{{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{s}$, iar factorul $2\pi$ nu are unitate, deci $[T]=\mathrm{s}$, ca unitatea unei perioade.
3. Varianta $T=2\pi \sqrt{g/l}$ ar avea unitatea ${\mathrm{s}}^{-1}$, deci nu poate reprezenta o durată.

Formula aleasă este omogenă; omogenitatea nu stabilește însă valoarea factorului $2\pi$.

Greșeli frecvente

• Greșit: un rezultat numeric se scrie fără unitate.
  Corect: fiecare rezultat numeric se scrie împreună cu unitatea sa de măsură.
• Greșit: $1{\mathrm{m}}^2=100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.
  Corect: deoarece $1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$, rezultă $1{\mathrm{m}}^2=10000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.
• Greșit: o viteză dată în $km/h$ se introduce direct într-o formulă care lucrează cu metri și secunde.
  Corect: viteza se împarte la $3,6$ înainte de calcul; $36km/h=10m/s$.
• Greșit: prefixul „mili” înseamnă o sută.
  Corect: mili înseamnă $10^{-3}$, adică o miime; $1\mathrm{mm}=10^{-3}\mathrm{m}$.

Înainte și după