Ecuația gazului ideal

Ecuația de stare a gazului ideal este $pV=nRT$. Ea leagă presiunea, volumul, numărul de moli și temperatura absolută. Pentru $p$ în atm, $V$ în L și $T$ în K se folosește $R\approx 0,082$ L·atm/(mol·K). Pentru unități SI, $p$ se exprimă în Pa, $V$ în m³ și $R=8,314$ J/(mol·K). La aceleași $n$ și $T$, o presiune mai mare înseamnă volum mai mic. Abaterile de la modelul ideal cresc la presiune mare și temperatură joasă, când volumul particulelor și atracțiile dintre ele devin importante.

De unde vine valoarea lui $R$. În condiții normale, un mol de gaz ideal ocupă $22,4$ L la $1$ atm și $273$ K. Din $pV=nRT$ rezultă $R=\frac{pV}{nT}=\frac{1\cdot 22,4}{1\cdot 273}=0,082$ L·atm/(mol·K). Convertind unitățile ($1$ atm $=101325$ Pa, $1$ L $=10^{-3}$ m³) se obține $R=8,314$ J/(mol·K); cele două valori reprezintă aceeași constantă.

Forme utile ale ecuației. Cum $n=m/M$, ecuația devine $pV=\frac{m}{M}RT$, de unde se află masa molară: $M=\frac{mRT}{pV}$. Cum densitatea este $\rho =m/V$, rezultă $\rho =\frac{pM}{RT}$. Pentru o cantitate constantă de gaz, ecuația duce la legile Boyle, Charles și Gay-Lussac, iar raportul $pV/T$ rămâne constant.

Exemplul 1: masa molară dintr-o măsurătoare. O probă de $1,60$ g de gaz ocupă $0,82$ L la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1,5$ atm. Care este masa molară?

1. $T=27+273=300$ K.
2. $n=\frac{pV}{RT}=\frac{1,5\cdot 0,82}{0,082\cdot 300}=0,050$ mol.
3. $M=m/n=1,60/0,050=32$ g/mol, valoare care corespunde oxigenului ${\mathrm{O}}_2$.

Exemplul 2: densitatea la altă temperatură. Densitatea dioxidului de carbon ($M=44$ g/mol) la $25{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1$ atm:

1. $T=25+273=298$ K.
2. $\rho =\frac{pM}{RT}=\frac{1\cdot 44}{0,082\cdot 298}=1,80$ g/L.
3. În condiții normale densitatea este $44/22,4=1,96$ g/L; gazul mai cald are densitate mai mică, pentru că aceeași masă ocupă un volum mai mare.

Exemplul 3: unități SI. Ce volum ocupă $0,50$ mol de gaz ideal la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $150$ kPa?

1. $T=293$ K și $p=150000$ Pa; se folosește $R=8,314$ J/(mol·K).
2. $V=\frac{nRT}{p}=\frac{0,50\cdot 8,314\cdot 293}{150000}=8,12\cdot 10^{-3}$ m³.
3. Rezultatul este $8,12$ L și coincide cu calculul în litri și atmosfere ($150$ kPa $=1,48$ atm; $V=0,50\cdot 0,082\cdot 293/1,48=8,1$ L).

Exemplul 4: de la presiune și volum la molecule. Un balon de $5,0$ L conține heliu la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $3,0$ atm. Câți moli și câți atomi conține?

1. $n=\frac{pV}{RT}=\frac{3,0\cdot 5,0}{0,082\cdot 300}=0,61$ mol.
2. Heliul este format din atomi izolați: $N=0,61\cdot 6,022\cdot 10^{23}=3,7\cdot 10^{23}$ atomi.

Exemplul 5: masa de gaz dintr-un volum dat. Ce masă de amoniac $\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$ ($M=17$ g/mol) umple un vas de $2,0$ L la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1,2$ atm?

1. $T=293$ K, iar $n=\frac{1,2\cdot 2,0}{0,082\cdot 293}=0,100$ mol.
2. $m=nM=0,100\cdot 17=1,70$ g.

Volumul molar în orice stare. Din $pV=nRT$ rezultă $V_m=RT/p$. În condiții normale, $V_m=0,082\cdot 273/1=22,4$ L/mol, la $25{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1$ atm este $24,4$ L/mol, iar la $127{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $2$ atm este $0,082\cdot 400/2=16,4$ L/mol.

Exemplul 6: gaz obținut printr-o reacție. Ce volum de hidrogen se degajă din reacția $\mathrm{Zn}+2HCl\to \mathrm{ZnC}{\mathrm{l}}_2+{\mathrm{H}}_2\uparrow$, dacă se consumă $6,5$ g zinc ($A_{\mathrm{Zn}}=65$), măsurat la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1,2$ atm?

1. $n(\mathrm{Zn})=6,5/65=0,10$ mol, iar raportul $1:1$ dă $n({\mathrm{H}}_2)=0,10$ mol.
2. $V=\frac{nRT}{p}=\frac{0,10\cdot 0,082\cdot 300}{1,2}=2,05$ L.
3. Aceeași cantitate ar ocupa $2,24$ L în condiții normale; volumul diferă pentru că starea este alta.

Gazul real. Modelul ideal presupune particule punctiforme care nu se atrag. La presiuni mari, volumul propriu al particulelor face ca volumul real să fie mai mare decât cel calculat, iar la temperaturi apropiate de punctul de lichefiere, atracțiile dintre particule fac presiunea reală mai mică decât cea calculată. La temperatura camerei și presiune atmosferică, ecuația este foarte bună pentru ${\mathrm{H}}_2$, ${\mathrm{N}}_2$, ${\mathrm{O}}_2$ și $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$.

Ecuația $pV=nRT$ se aplică cantității de gaz aflate în vas la starea cerută, după o eventuală reacție. Într-un vas de $10,0$ L se introduc $0,20$ mol ${\mathrm{H}}_2$ și $0,30$ mol $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$. Dacă reacția ${\mathrm{H}}_2+\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2\to 2HCl$ este completă și gazele pot fi tratate ideal, rămân $0,10$ mol $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$ și se formează $0,40$ mol $\mathrm{HCl}$: totalul final este $0,50$ mol gaz. La $300$ K, cu $R=0,0821$ L·atm·mol${}^{-1}$·K${}^{-1}$, presiunea este $p=0,50\cdot 0,0821\cdot 300/10,0=1,23$ atm. Aici numărul total de moli rămâne același deoarece un mol de ${\mathrm{H}}_2$ și unul de $\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$ dau doi moli $\mathrm{HCl}$; în alte reacții numărul total se schimbă.

Exemplu în format de admitere: reacție cu scăderea numărului de moli. Într-un vas rigid de $20$ L se află $1,0$ mol ${\mathrm{N}}_2$ și $3,0$ mol ${\mathrm{H}}_2$ la $400$ K. Se formează amoniac conform ${\mathrm{N}}_2+3{\mathrm{H}}_2\to 2N{\mathrm{H}}_3$, iar $50\%$ din azot se consumă. Temperatura rămâne $400$ K. Care este presiunea inițială și cea finală?

1. Inițial: $n=4,0$ mol, deci $p_1=4,0\cdot 0,082\cdot 400/20=6,56$ atm.
2. Se consumă $0,50$ mol ${\mathrm{N}}_2$ și $1,5$ mol ${\mathrm{H}}_2$ și se formează $1,0$ mol $\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$. Rămân $0,50$ mol ${\mathrm{N}}_2$, $1,5$ mol ${\mathrm{H}}_2$ și $1,0$ mol $\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$: în total $3,0$ mol.
3. La $V$ și $T$ constante, presiunea este proporțională cu numărul de moli: $p_2=p_1\cdot 3,0/4,0=4,92$ atm.

Schemă de rezolvare. Când enunțul dă două stări ale aceluiași gaz, fără reacție, se rezolvă cu raportul $p_1{V}_1/(n_1{T}_1)=p_2{V}_2/(n_2{T}_2)$; când apare o reacție, se calculează întâi numărul de moli din fiecare stare și apoi se aplică $pV=nRT$.

Greșeli frecvente

• Greșit: În $pV=nRT$ temperatura se introduce în grade Celsius.
  Corect: se folosește temperatura absolută, în kelvini.
• Greșit: Constanta $R=0,082$ se folosește cu presiunea în Pa și volumul în m³.
  Corect: acele unități cer $R=8,314$ J/(mol·K).
• Greșit: Densitatea unui gaz este aceeași la orice temperatură și presiune, deoarece masa molară nu se schimbă.
  Corect: $\rho =pM/(RT)$; la $25{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1$ atm, $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ are $1,80$ g/L, nu $1,96$ g/L.
• Greșit: Dacă într-un vas rigid reacția scade numărul de moli de gaz, presiunea rămâne constantă.
  Corect: la $V$ și $T$ constante presiunea este proporțională cu $n$; ea scade.

Înainte și după