Secțiuni și vederi ortogonale

Un corp tridimensional poate fi descris prin vederi din față, de sus și din lateral. Într-o vedere ortogonală, punctele se proiectează pe un plan prin direcții perpendiculare pe acel plan. O secțiune arată forma obținută când un plan taie corpul.

Exemplu rezolvat. Pentru un paralelipiped dreptunghic cu lungimea $4$ cm, lățimea $3$ cm și înălțimea $2$ cm:

1. Vederea de sus este un dreptunghi $4$ cm $\times$ $3$ cm.
2. Vederea din față, pe latura de $4$ cm, este $4$ cm $\times$ $2$ cm.
3. Vederea laterală este $3$ cm $\times$ $2$ cm.

Proiecția ortogonală trimite fiecare punct al corpului pe un plan printr-o perpendiculară pe acel plan. O lungime apare în mărime reală dacă segmentul este paralel cu planul de proiecție; un segment perpendicular se proiectează într-un punct. Vederile din față, de sus și din lateral arată câte două dimensiuni și trebuie corelate pentru a reconstrui forma. Muchiile ascunse se reprezintă potrivit convenției desenului tehnic. Secțiunea este intersecția corpului cu un plan de tăiere, deci arată materialul întâlnit pe acel plan, nu toate punctele proiectate. La o prismă, secțiunea paralelă cu bazele este congruentă cu baza, însă alte secțiuni pot avea forme și dimensiuni diferite.

Exemplu rezolvat. Într-un cub de muchie $2$ cm, calculăm aria secțiunii $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$.

1. Planul trece prin diagonala bazei și prin muchiile verticale de la capetele ei.
2. Secțiunea este dreptunghi, cu o latură egală cu muchia verticală: $A{A}^{\prime }=2$ cm.
3. Cealaltă latură este diagonala pătratului bazei, $AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ cm.
4. Aria secțiunii este $2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ cm${}^2$; aria vederii de sus este $2^2=4$ cm${}^2$.

Vederile principale se aranjează după o convenție: vederea din față, vederea de sus așezată sub ea și vederea din lateral alăturată, cu muchiile vizibile trasate continuu și cele ascunse cu linie întreruptă. Același corp poate avea vederi identice pentru corpuri diferite, de aceea se cer cel puțin două sau trei vederi. De exemplu, un cilindru și un paralelipiped cu baza pătrată au aceeași vedere din față, un dreptunghi; vederea de sus le deosebește, fiindcă una este cerc și cealaltă pătrat.

Exemplu rezolvat. O piramidă patrulateră regulată are baza pătrat cu latura $6$ cm și înălțimea $4$ cm. Descrie vederile și calculează aria secțiunii făcute de un plan paralel cu baza, la jumătatea înălțimii.

1. Vederea de sus este un pătrat cu latura $6$ cm, cu diagonalele trasate (proiecțiile muchiilor laterale).
2. Vederea din față este un triunghi isoscel cu baza $6$ cm și înălțimea $4$ cm.
3. Secțiunea paralelă cu baza este un pătrat asemenea cu baza, cu raportul de asemănare $\frac{1}{2}$ (planul este la jumătatea înălțimii), deci latura este $3$ cm.
4. Aria secțiunii este $3^2=9$ cm${}^2$, adică $\frac{1}{4}$ din aria bazei, $36$ cm${}^2$.

Exemplu rezolvat. Un cilindru circular drept are raza bazei $3$ cm și înălțimea $8$ cm. Compară vederile și secțiunile.

1. Vederea din față este dreptunghi $6\times 8$ cm; vederea de sus este cerc de rază $3$ cm.
2. Secțiunea axială (planul trece prin axă) este dreptunghi cu laturile $2r=6$ cm și $h=8$ cm, de arie $48$ cm${}^2$.
3. Secțiunea paralelă cu baza este cerc de rază $3$ cm, de arie $9\pi$ cm${}^2$.

Deci aceeași vedere din față, un dreptunghi, corespunde secțiunii axiale, dar vederea de sus este un cerc.

Greșeli frecvente

• Greșit: vederea din față a unei piramide patrulatere regulate este un pătrat.
  Corect: este un triunghi isoscel; pătratul este vederea de sus.
• Greșit: secțiunea diagonală a cubului are laturile $2$ cm și $2$ cm.
  Corect: una este diagonala bazei, de lungime $2\sqrt{2}$ cm.
• Greșit: o muchie perpendiculară pe planul vederii își păstrează lungimea în proiecție.
  Corect: capetele se proiectează în același punct.

Înainte și după