Diagonalele matricei

Într-o matrice pătratică de ordin $n$, diagonala principală are poziții $(i,i)$, iar diagonala secundară are poziții $(i,n-1-i)$, cu indici de la 0. Pentru matricea de ordin 3 cu liniile $[1,2,3]$, $[4,5,6]$, $[7,8,9]$, diagonalele sunt 1, 5, 9 și, respectiv, 3, 5, 7.

O matrice este pătratică dacă are același număr $n$ de linii și de coloane. Într-o matrice pătratică de ordin $n$, cu indici de la 0, diagonala principală conține elementele a[i][i], adică pozițiile cu $i=j$, iar diagonala secundară conține elementele a[i][n-1-i], adică pozițiile cu $i+j=n-1$. Cu indici de la 1, condiția diagonalei secundare este $i+j=n+1$. Poziția aflată deasupra diagonalei principale are $i<j$, iar cea aflată **sub** ea are $i>j$. Față de diagonala secundară, pozițiile de deasupra au $i+j<n-1$, iar cele de dedesubt $i+j>n-1$. Pentru $n$ impar, elementul central, a[n/2][n/2], aparține ambelor diagonale; pentru $n$ par, diagonalele nu au nicio poziție comună. Parcurgerea unei diagonale folosește un singur ciclu, cu $n$ pași, nu două cicluri imbricate.

Exemplul 1 — sumele diagonalelor. Pentru matricea cu liniile $(1,2,3)$, $(4,5,6)$, $(7,8,9)$, diagonala principală conține 1, 5, 9, iar cea secundară conține 3, 5, 7.

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int a[3][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
    int principal = 0, secundar = 0;
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        principal += a[i][i];
        secundar += a[i][2 - i];
    }
    cout << principal << " " << secundar;
    return 0;
}

Se afișează 15 15. Elementul central, 5, apare în ambele sume. Dacă se cere suma elementelor distincte de pe cele două diagonale, centrul se numără o singură dată: $15+15-5=25$.

Exemplul 2 — regiunile față de diagonala principală. În aceeași matrice, elementele de deasupra diagonalei principale ($i<j$) sunt $2,3,6$, cu suma 11, iar cele de dedesubt ($i>j$) sunt $4,7,8$, cu suma 19. Împreună cu diagonala principală (suma 15), cele trei regiuni acoperă toate elementele: $11+15+19=45$, adică suma tuturor numerelor de la 1 la 9. Un ciclu dublu cu testul i < j parcurge exact regiunea de deasupra, iar i + j == n - 1 selectează diagonala secundară.

int sus = 0, jos = 0;
for (int i = 0; i < 3; ++i)
    for (int j = 0; j < 3; ++j) {
        if (i < j) sus += a[i][j];
        if (i > j) jos += a[i][j];
    }

Secvența lasă sus = 11 și jos = 19.

Exemplul 3 — construirea unei matrice după regulă. Pentru $a_{ij}=i+j$, cu $n=3$ și indici de la 0, matricea are liniile $(0,1,2)$, $(1,2,3)$ și $(2,3,4)$. Valorile de pe diagonala secundară sunt toate egale cu $n-1=2$, pentru că $i+j=2$ pe ea. Pe diagonala principală valorile sunt $0,2,4$. Condiția $i+j=n-1$ explică de ce toate elementele diagonalei secundare au aceeași valoare în această matrice. Aceeași matrice se obține cu două cicluri imbricate: for (i...) for (j...) a[i][j] = i + j;. O matrice cu 1 pe ambele diagonale și 0 în rest se completează cu testul if (i == j || i + j == n - 1) a[i][j] = 1; else a[i][j] = 0;; pentru $n=3$ rezultă liniile $(1,0,1)$, $(0,1,0)$ și $(1,0,1)$, cu cinci valori de 1.

Exemplul 4 — ordin par și diagonalele alăturate. Fie $n=4$ și $a_{ij}=4i+j+1$, adică liniile $(1,2,3,4)$, $(5,6,7,8)$, $(9,10,11,12)$, $(13,14,15,16)$. Diagonala principală are elementele $1,6,11,16$, cu suma 34, iar cea secundară are $4,7,10,13$, tot cu suma 34. Pentru $n$ par nu există element central, deci cele 8 elemente sunt distincte și suma lor este $68$. Diagonala de deasupra celei principale conține elementele cu $j=i+1$, adică $2,7,12$, cu suma 21; ciclul for (i = 0; i + 1 < n; ++i) s += a[i][i+1]; face doar $n-1=3$ pași. Diagonala de dedesubt, cu $i=j+1$, are elementele $5,10,15$ și suma 30.

Condiția pentru diagonala principală este $i=j$, pentru cea secundară $i+j=n-1$ (cu indici de la 0). Deasupra diagonalei principale avem $i<j$, iar sub ea $i>j$. Verifică dacă problema folosește indici de la 0 sau de la 1; formula diagonalei secundare se schimbă în consecință. Pentru ordin impar, nu număra elementul central de două ori când unești diagonalele. La numărarea elementelor dintr-o regiune, calculează întâi câte poziții are: deasupra diagonalei principale a unei matrice de ordin $n$ sunt $\frac{n(n-1)}{2}$ poziții, deci 3 pentru $n=3$ și 6 pentru $n=4$. Elementele de pe diagonale sunt $2n-1$ pentru $n$ impar și $2n$ pentru $n$ par. Un singur ciclu for (i...) cu cele două accesări a[i][i] și a[i][n-1-i] face $n$ pași, iar două cicluri imbricate cu testul i == j || i + j == n - 1 fac $n^2$ verificări, adică 100 pentru $n=10$ față de 10.

Exemplu în formatul examenului. Ce se afișează în urma executării secvenței de mai jos?

int a[3][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
int t = 0;
for (int i = 0; i < 3; ++i)
    for (int j = 0; j < 3; ++j)
        if (i == j || i + j == 2)
            t += a[i][j];
cout << t;

• a) 15
• b) 20
• c) 25
• d) 30

Răspunsul corect este c). Condiția selectează elementele de pe cele două diagonale. Instrucțiunea if este evaluată o singură dată pentru fiecare pereche $(i,j)$, deci elementul central, pentru care ambele condiții sunt adevărate, se adună o singură dată: $1+5+9+3+7=25$. Varianta d) ar rezulta dacă centrul s-ar număra de două ori, $15+15=30$, iar varianta a) numără numai o diagonală.

Greșeli frecvente

• Greșit: diagonala secundară conține elementele a[i][i].
  Corect: conține a[i][n-1-i], deci perechile cu $i+j=n-1$.
• Greșit: pentru ordin impar, diagonalele nu au niciun element comun.
  Corect: au elementul central.
• Greșit: formula $i+j=n-1$ se păstrează neschimbată la indici de la 1.
  Corect: atunci condiția este $i+j=n+1$.

Înainte și după