Baze de numerație

În baza $b\ge 2$, fiecare poziție reprezintă o putere a lui $b$. Astfel, $(1011{)}_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2+1=11$ în baza 10. Cifrele permise au valori de la 0 la $b-1$. Pentru a transforma un întreg nenegativ din baza 10 în baza $b$, împărțim repetat la $b$ și citim resturile în ordine inversă.

Un număr natural scris în baza $b\ge 2$ cu cifrele $c_k{c}_{k-1}\dots c_1{c}_0$ are valoarea $c_k\cdot b^k+c_{k-1}\cdot b^{k-1}+\dots +c_1\cdot b+c_0$, iar fiecare cifră este între 0 și $b-1$. Baza 2 folosește cifrele 0 și 1, baza 8 cifrele de la 0 la 7, iar baza 16 cifrele 0–9 și literele $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$. Un număr cu $k+1$ cifre în baza $b$ satisface $b^k\le n<b^{k+1}$.

Conversia din baza 10 în baza $b$ se face prin împărțiri succesive la $b$: restul fiecărei împărțiri este o cifră, începând cu cea mai puțin semnificativă, iar câtul se împarte mai departe până ajunge 0. Resturile se citesc în ordine inversă a obținerii lor.

Exemplul 1 — $26_{10}$ în baza 2 și în baza 16.

1. Baza 2: $26=2\cdot 13+0$, $13=2\cdot 6+1$, $6=2\cdot 3+0$, $3=2\cdot 1+1$, $1=2\cdot 0+1$. Resturile citite invers: 1, 1, 0, 1, 0, deci $26_{10}=11010_2$.
2. Baza 16: $26=16\cdot 1+10$ și $1=16\cdot 0+1$. Resturile citite invers: 1 și 10, adică $1A_{16}$.
3. Verificare: $1\cdot 16+10=26$ și $1\cdot 16+1\cdot 8+0\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=26$.

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
    int n = 26, b = 16;
    const string cifre = "0123456789ABCDEF";
    string rezultat = "";
    if (n == 0) rezultat = "0";
    while (n > 0) {
        rezultat = cifre[n % b] + rezultat;
        n /= b;
    }
    cout << rezultat;
    return 0;
}

Programul afișează 1A; pentru b = 2 ar afișa 11010. Cifra se alipește în fața șirului, pentru ca resturile să apară în ordinea inversă obținerii lor. Cazul 0 este tratat separat, deoarece ciclul nu s-ar executa deloc.

Urmărirea programului pentru $b=16$: la început $n=26$ și rezultat este vid. În prima iterație $26\mathrm{mod}16=10$, deci se alipește A, iar $n$ devine 1. În a doua, $1\mathrm{mod}16=1$, rezultat devine 1A și $n$ devine 0, deci ciclul se oprește. Terminarea e sigură, fiindcă $n$ scade la fiecare pas, ca urmare a împărțirii întregi la $b\ge 2$.

Exemplul 2 — din baza $b$ în baza 10 (schema lui Horner). Valoarea $10110_2$ se obține citind cifrele de la stânga la dreapta și înmulțind rezultatul curent cu baza înainte de a aduna cifra: $((((1\cdot 2+0)\cdot 2+1)\cdot 2+1)\cdot 2+0)$, adică 1, 2, 5, 11, 22.

s = "10110"
b = 2
valoare = 0
for c in s:
    valoare = valoare * b + int(c)
print(valoare)

Programul afișează 22, valoarea lui $10110_2$.

Numărul de cifre al lui $n$ în baza $b$ este $[{\log }_{b}n]+1$: numărul 1000 are 10 cifre în baza 2, pentru că $2^9=512\le 1000<1024=2^{10}$. Numerele scrise în baze diferite se compară după ce sunt aduse în aceeași bază: $101_2=5$, iar $21_3=7$, deci $101_2<21_3$, deși scrierea $101$ pare mai mare decât $21$.

Bazele 2, 8 și 16 sunt legate între ele. O cifră în baza 8 corespunde la exact trei cifre binare, iar o cifră în baza 16 la patru. Numărul $11010111_2$ se grupează de la dreapta în grupe de câte 4: $11010111$, adică $D{7}_{16}$; în grupe de câte 3: $011010111$, adică $327_8$. Valoarea în baza 10 este 215 în toate cele trei scrieri: $13\cdot 16+7=215$ și $3\cdot 64+2\cdot 8+7=215$.

Exemplul 3 — din baza 16 în baza 8, prin baza 2. Convertim $2F_{16}$. Fiecare cifră hexazecimală devine patru cifre binare: $2=0010$ și $F=1111$, deci $2F_{16}=101111_2$ (zerourile din față se pot omite). Regrupăm de la dreapta în câte trei cifre: $101111$, adică $57_8$. Verificare în baza 10: $2\cdot 16+15=47$ și $5\cdot 8+7=47$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(1011{)}_2$ este o mie unsprezece în baza zece.
  Corect: valoarea sa este 11.
• Greșit: resturile împărțirilor succesive se citesc în ordinea obținerii lor.
  Corect: se citesc invers.
• Greșit: cifra 2 poate apărea într-un număr scris în baza 2.
  Corect: sunt permise doar 0 și 1.

Înainte și după